－１/ｎ－１≦Aｎ＜０って？？？？

質問

数列{ Aｎ}を、Ａ1=C、Ａn+1＝Aｎ^2－１/ｎ（ｎ≧１）で定める。ここでｃは定数とする。
この時C＝√2のとき、limのｎ→∞の値をもとめよ。という問で解答では帰納法を使っていますが、ｎ＝1,2,3,4,5,・・・を代入してこの時ｎ＝4,5,6,・・・より
－１/ｎ－１≦Aｎ＜０であると推定できる。と書いて在りました。でもなぜ、こうなるのかが分かりません。どうしてですか？？

回答No.5

mmky · ベストアンサー

＃1、２などでは
質問者の「でもなぜ、こうなるのかが分かりません。どうしてですか？？」
の回答になっていないのかな？

数列{ Aｎ}を、Ａ1=C、Ａn+1＝Aｎ^2－１/ｎ（ｎ≧１）
A1=C (C=√2)
n=1:　A2＝(A1)＾2－ (1/1) =1
n=2:　A3＝(A2)＾2－（１/2) =1/2
n=3:　A4＝(A3)＾2－（１/3) =1/4-(1/3)=-1/12
n=4:　A5＝(A4)＾2－（１/4) =(-1/12)＾2-1/4=-35/144
n=5:　A6＝(A5)＾2－（１/5)
n=6:　A7＝(A6)＾2－（１/6)

この式を見てわかることは、A5 以上は、Anの値は、明らかに0より小さく
(-1/ｎ-1）より大きいことがわかります。
命題はｎ→∞　のときのAn　の値ですから、「(-1/ｎ-1）より大きい」をいれた表現を便宜的にかんがえるのです。こうしておけば、ｎ→∞　で
(-1/ｎ-1）→0　という記述ができますから。証明は誰にでも理解できるように「記述方式」で説明することなのです。
だから
「この時ｎ＝4,5,6,・・・より
－１/（ｎ－１）≦Aｎ＜０であると推定できる。」
でいいですよね。　といっておいて、
ｎ→∞　にすると　－１/（ｎ－１）→（-0）　
（-0）≦A∞＜０　A∞＝－0　　はマイナスの値から0に限りなく近づきます。ということが答えになります。
（帰納法で式に数字を入れていくとどこまでもマイナスの小さな値になり
おわりませんね。これを短くするための数学的記述法と考えればよいのでは。）

注：収束を考えるときはゼロにもゼロとプラスゼロ、マイナスゼロがあると考えます。プラスゼロはプラス側から限りなくゼロに近づくということ。
マイナスゼロはマイナス側から限りなくゼロに近づくというです。

再度こんなのでどうかなあ？

回答No.4

oshiete_goo

＃３の補足訂正です．
＞ただ，それでは面白くないので，あえて数学的帰納法によらない証明ということで＃１の議論を挙げました．

これはウソで，正しくないもの言いでした．
＞ひとたびあるnで　|An|≦1/(n-1)・・・(＊) が成り立てば，
＞Ａn+1＝(Aｎ)^2－１/ｎ ≦ 1/(n-1)^2　－１/ｎ＜０　（少なくともｎ≧３の時）は言えて，
これは，特定の(＊)を満たすｎ→(次の)Ａn+1＜０　を直接示していて，
＞以後は常に『－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０』
『数学的帰納法』の議論は，その後のnに対する不等式の成立の証明には使います．失礼しました．

言いたかったことは，
＞－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０
この推定に直接依存しない説明(別の条件からの－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０の導出)をしたかったということです．
以上，補足とともに訂正いたします．

お礼

PSの調子がおかしくて、おそくなってしまいました。本当にすいません。いつもいつもありがとうございます。mmkyさんのアドヴァイスと照らし合わせて考えたら楽しいほどわかりました。ホントに有難う御座いました。

回答No.3

oshiete_goo

#1です．
＞実際，A1＝√2，A2＝１，A3＝3/4，A4＝5/16　(間違っていたら訂正下さい)

案の定？値が間違っていて，＃２でmmkyさんが示された通り
(正) A1＝√2，A2＝１，A3＝1/2，A4＝-1/12, ・・・　
となりますね．お教えありがとうございます．

問題の趣旨は＃２さんが示された通りで、『(具体的に書いて)推定せよ』なのですが，ご質問が
＞でもなぜ、こうなるのかが分かりません。
という話だったので，おそらく『なぜそう気づくのか』という点が質問のポイントで，『出題者は答えを知っているから』というのがそれに対する1つの答えです．まあ，そう言ってはミもフタも無いので，具体的にいくつか書いてみて気づいてねという問題ですね．

ただ，それでは面白くないので，あえて数学的帰納法によらない証明ということで＃１の議論を挙げました．
具体的値を見ると，＃１の議論(証明)の大勢は変わらないのですが，拡張出来ますね．

[前半]
Ａn＝(A{ｎ-1})^2－１/(ｎ-1)≧－１/(ｎ-1) (n≧2)
は変更なし．

[後半の修正(拡張)]
これに加えて，ひとたびあるnで　|An|≦1/(n-1)・・・(＊) が成り立てば，
Ａn+1＝(Aｎ)^2－１/ｎ ≦ 1/(n-1)^2　－１/ｎ＜０　（少なくともｎ≧３の時）は言えて， (通分して(分子)＝－{n(n-3)+1}<0 より，容易にいえます．)

実際，A1＝√2，A2＝１，A3＝1/2，A4＝-1/12,・・・より， n=3ですでに(＊)は成り立ち，|A3|≦1/2　より，次は　A4＝(1/2)^2－1／3=1/4－1/3＜０
が成立というように，以後は常に『－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０』(n≧４)
が一般に成立することが証明されます．

回答No.2

mmky

補足まで
「解答では帰納法を使っています。」とのことですので、＃１さんを参考に
具体的に数字を入れてみればということかと思います。
そこで、以下愚直にやりますと、

数列{ Aｎ}を、Ａ1=C、Ａn+1＝Aｎ^2－１/ｎ（ｎ≧１）
A1=C (C=√2)
n=1:　A2＝(A1)＾2－ (1/1) =1
n=2:　A3＝(A2)＾2－（１/2) =1/2
n=3:　A4＝(A3)＾2－（１/3) =1/4-(1/3)=-1/12
n=4:　A5＝(A4)＾2－（１/4) =(-1/12)＾2-1/4=-35/144
n=5:　A6＝(A5)＾2－（１/5)
n=6:　A7＝(A6)＾2－（１/6)

この式を見てわかることは、A5 以上は、Anの値は、明らかに0より小さく
(-1/ｎ-1）より大きいことがわかります。
A5 のとき　（-1/4）＝-1/(5-1)
だからA5以上のすべてで同じパターンであると推定できますよね。
だから、
「この時ｎ＝4,5,6,・・・より
－１/（ｎ－１）≦Aｎ＜０であると推定できる。」
は正しいですね。

こんなんでどうでしょうか？

お礼

すいません、遅くなって。PSの調子がおかしくて・・・。よく分かりました。まさかこんな帰納法の仕方かあるとはおもいませんでした。ホントに助かりました！！
おりがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

＞－１/ｎ－１≦Aｎ＜０であると推定できる。
これは書き方がまずくて，『－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０であると推定できる。』ですね．

すべてのAnは実数なので，(An)^2≧０より
Ａn+1＝(Aｎ)^2－１/ｎ≧0－１/ｎ=－１/ｎ (n≧１)
これのnをずらすと
Ａn＝(A{ｎ-1})^2－１/(ｎ-1)≧－１/(ｎ-1) (n≧2)
はいえます．

これに加えて，ひとたびあるnで　|An|＜1/(n-1) が成り立てば，
Ａn+1＝(Aｎ)^2－１/ｎ ＜ 1/(n-1)^2　－１/ｎ＜０　（少なくともｎ≧３の時）
は言えて，

実際，A1＝√2，A2＝１，A3＝3/4，A4＝5/16　(間違っていたら訂正下さい)より，
|A4|＜１／３　が成り立ち，次は　A5＝(5/16)^2－1／4＜(1/3)^2－1／4=1/9-1/4＜０
はいえますから，以後は常に『－１/(ｎ－１)≦Aｎ＜０』(n≧５)

お礼

あっ、今回はmmkyさんに２０を入れさせてください。なんか初めてみるひとなんで・・・。