重回帰のデータ解析(連立方程式)

質問

データ解析に関して
f(x)=(a1cosk1x+a2cosk2x-(b1sink1x+b2sink2x))/√x
g(x)=-(a1sink1x+a2sink2x+b1cosk1x+b2cosk2x)/√x
を最小二乗法でフィッティングするにはどうしたらよいのでしょうか？

k1,k2は既知ですが整数ではありません。データの数は多数あります。
a1,a2,b1,b2の値を求めたいのですが、方法がわかりません。

と質問をさせていただき、重回帰の方法を教えていただきました。
けれどf(x)とg(x)の連成がとれません。f(x)、g(x)のa1,a2,b1,b2は同値でなければなりません。
度々申し訳ございませんが、力をお貸しください。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

状況によって対応と言うか考え方が違うと思います。
回帰から導かれたそれぞれの係数の値の差異の度合い、導かれるカーブと
実際のデータとのマッチングのことです。
(1)データに対して計算値から出したグラフが外れている。　
⇒　重回帰での計算を見直す。
(2)フィッティングはうまく行っているがそれぞれの値が大きく違う。　
⇒　理由はどうあれ理論式を見直す。あるいは実験方法を見直す。
(3)それぞれのフィッティングはうまく行っているがそれぞれの値が微妙に違う。
⇒　それぞれの値が同じことを前提に回帰の方法を見直す。
(1)、(2)に関しては質問者さんの方で考えてください。
特に(2)の場合、例えば目的変数f(x),g(x)ではなく、xに誤差が見込まれる
などの場合は単純な回帰では対応できないと思います。
通常、Y=f(x)+εからε=Y-f(x),Σε^2=Σ{Y-f(x)}^2でこれを最小にするのが
最小二乗法ですが、Y=f(x+ε) だと逆関数が取れない場合には
対応できません。近似的に展開してみるぐらいでしょうか。
私の力では対応できそうにありません。
(3)の場合ですが細かい理論的なことは省略して(書きかけたのですが、
長いだけで余り意味がない、というか当たり前のことなので省略します)
要はそれぞれのカーブへのフィッティングより係数を同一とみなしてそれぞれの
残差平方和の最小化を目的とするなら
f(x)=(a1cosk1x+a2cosk2x-(b1sink1x+b2sink2x))/√x
=a1{(1/√x)cos(k1x)}+a2{(1/√x)cos(k2x)}+b1{-(1/√x)sin(k1x)}+b2{-(1/√x)sin(k2x)}
Y=a1X1+a1X2+b1X3+b2X4
ここでX1=(1/√x)cos(k1x),X2=(1/√x)cos(k2x),X3=-(1/√x)sin(k1x),X4=-(1/√x)sin(k2x)
g(x)=a1{-(1/√x)sin(k1x)}+a2{-(1/√x)sin(k2x)}+b1{-(1/√x)cos(k1x)}+b2{-(1/√x)cos(k2x)}
Y=a1X1+a1X2+b1X3+b2X4
ここでX1=-(1/√x)sin(k1x),X2=-(1/√x)sin(k2x),X3=-(1/√x)cos(k1x),X4=-(1/√x)cos(k2x)
つまり、同じ式とみなしてそれぞれの値を変換して全体で重回帰すると
残差平方和の和の最小化を図れます。
(和が最小になるだけでそれぞれの残差平方和は大きくなるはずです。
それぞれを別に重回帰して値が違うと言うことはそういうことを表しています)

お礼

いろいろ検討の余地があるようです。
参考にさせていただき、見直してみたいと思います。
こんなに丁寧に書いていただき心より感謝申し上げます。