3i と -3i の違いがわからなくなりました。

質問

2 と -2 の違いはわかります。
ある数に掛けてみて、その値がもとの数どうしの和と等しくなったとしたらそれは -2 ではありません。2です。

ところが、3i と -3i については見分けがつきません。
どこが違うのでしょうか？？

これって、自分が 3i だと思っていたものが、他の人にとっては -3i であるかもしれない、ということですよね！見分けがつかないわけですし。

回答No.9

rinkun · ベストアンサー

ANo.7さんの回答に対してですが、i=√(-1)であって、i=-√(-1)ではありませんから。これは定義ですので(^-^;)
# まあ言いたいことは分かりますけど

ちゃんというなら、二乗して-1になる数は2つあり、それらをαとβとするとき、i=αかi=βかを区別する手段はないということです。α=-βなので、一方をiとすると他方が-iになるのは確実ですけど。
ANo.3へのお礼を見ると質問者さんは理解されたと思いますが。

お礼

私も i=√(-1) については満足しているので、そこにいちゃもんつけたわけではないんです。フォローありがとうございます！

回答No.12

phusike

No.6の回答にもありますが、
現在の標準的な数学は、実数の順序対（数ベクトルと考えても構いません）"(x,y)"で、
以下の性質を満たすものを「複素数」として扱います。

加法を(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)、
乗法を(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)、
こうなるように演算を定義します。

この時、加法に関する単位元（任意の(x,y)に対して(x,y)+(a,b)=(a,b)+(x,y)=(x,y)を満たす(a,b)）は(0,0)、
加法に関する(x,y)の逆元（(x,y)に対して(x,y)+(a,b)=(a,b)+(x,y)=(0,0)となる(a,b)）は、従って(-x,-y)。
乗法に関する単位元（任意の(x,y)に対して(x,y)(a,b)=(a,b)(x,y)=(x,y)を満たす(a,b)）は(1,0)
乗法に関する(x,y)の逆元（(x,y)に対して(x,y)(a,b)=(a,b)(x,y)=(1,0)となる(a,b)）は、従って(x/(x^2+y^2),-y/(x^2+y^2))。
減法・除法はそれぞれ逆元を用いて定義します。

(x,y)を改めてx+iyと書くことにしましょう。
これが我々が普段用いている記法です。

この時、i^2を計算してみますと、
i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1となります。
ここでよく知られている性質が満たされることが確認できます。

こうやって複素数を構成することのメリットは、
定義がより厳密になることです。
「i^2=-1を満たす数」と言っても厳密に考えると訳が分かりませんし、
質問のように、"i"と"-i"の2つが出てきますが、どちらをiとするのかも決まりません。
ところがこのように定義すると一発でiと-iの区別が付くわけです。

i=√(-1)と定義するやり方もありますが、はっきり言ってこれは好まれません。
なぜなら、√(mn)=√m√nが成立するのはm, nともに非負の場合のみであるからです。
（1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i^2=-1はよく知られた詭弁です）
m,nの片方が非負、片方が-1の時にのみこれを拡張するというのは一案ですが、
エレガントとは言えませんね。

さて、今、我々は(x,y) = x+iyと定義しました。
ところが逆に、(x,-y) = x+iyと定義することにすればどうなるでしょうか。
試してみていただければ分かりますが、
最初にx+iy=(x,y)と定義したのかx+iy=(x,-y)と定義したのかの区別は、
"a+ib"という表記を見ているだけでは全くつきません。
これがmomodsさんのおっしゃる「自分が 3i だと思っていたものが、他の人にとっては -3i であるかもしれない」に対応するのです！

回答No.11

rinkun

私としても回答者同士の論争は避けたいですが、明らかな間違いを放置もできませんので。

i=√(-1)は定義なんです。
二乗して-1になる二つの数の一方を任意に決めてiあるいは√(-1)と書く。iと√(-1)は同じものに対する二つの記法であって、別々に定めたものが一致するということではありません。

お礼

多分protoさんは、私が i=√(-1) という定義そのものに疑問を感じたと考えたんだと思います。
結果的に私の謎はそこではなかったわけですが、私がi=√(-1)じゃないと言うのなら i の定義は i^2=-1 までということを表してくれたんだと思っています。

回答No.10

proto

回答者同士でのものの言い合いは良くないと思うのですが#9さんの意見について。

個人的にはi^2=-1こそが虚数単位の定義だと思いますよ。
少なくとも高校の範囲までは√の中に負の数を入れるのは反則ですからね。
しかし、そこを敢えてi=～の形で書くとすれば
　　i=√(-1)
　　i=-√(-1)
のどちらかになるのですが、どちらにしても間違いではないし矛盾も引き起こしません。
ちなみにどちらもちゃんと虚数単位iの定義の式であるi^2=-1は満たします。

お礼

私も i=√(-1) が定義だと思っていたんですが、
定義は i^2=-1 までなのかもしれませんっ

そうだとしても。
√(-1) も先天的に与えられているわけではないですよね。
つまり、「他の人がどっちを √(-1) にしたのかがわからないので、他人の √(-1) が自分の -√(-1) なこともある。」と私は考えたんです。

もしさらに私が、i が √(-1) なのか -√(-1) なのかもわからない！と言い出したら、
√(-1)は異なるものを考えているのに、i は同じものを考えている人もいるかもしれなくなりますね。それはそれでテンション上がりますけど(*^-^*)

回答No.8

Tacosan

えぇと, 確かに「自分が 3i だと思っていたものが, 他人から見たら -3i だった」ということはあるかもしれません. いずれにしても「自分の中で終始一貫していれば」問題は生じないはずです.

お礼

（ANo.6の方のように定義した i でなく、）2乗すると -1 になる数としての i だと、やっぱりそういうことがありえますよね！
ありがとうございます。

回答No.7

proto

iの定義「2乗すると-1になるような数」ということから考えると、i=√(-1)なのかi=-√(-1)なのかわからないってことですよね。
これについてはすでに他の方が回答されているように、どちらをiとして定義しても矛盾はないわけですが、
複素数平面で考えても同じになります。

複素数平面上でi=√(-1)とするかi=-√(-1)とするかによって虚軸の正方向が変わってしまいます。
一見このことから区別が出来そうなんですが、これは3次元の直交座標を右手系で取っても左手系で取っても矛盾はないように、やはり虚軸の方向を変えても矛盾は生じないし区別も出来ないんですよね。

結局は右と左の定義の問題と同じ話なんですけどね。

お礼

どちらを i としても矛盾はないことから導かれた
虚軸の方向を変えても矛盾が生じないということと、
右手系でも左手系でも矛盾はないことから導かれた
虚軸の方向を変えても矛盾が生じないということは、
本質的には別の話じゃないでしょうか？？

前者では、実軸の方向を変えることはできませんが、
後者では、実軸の方向を変えても矛盾は生じません。

でも、
ANo.5の方の本当に言いたかったことにもやっと気づきました！
ありがとうございます！

回答No.6

funoe

>3i は -3i ではないものの、3i と -3i のアイデンティティは分かてないという結論....

その気持ちもわからないではありませんが、幾何学的な意味を求めると（複素平面など絵的に考えたりすると、）左右の別の区別の問題とか、深みに嵌りそうですね。

素直に、複素数を集合論的に構成する方法、すなわち、実数の順序対（ａ，ｂ）：ａ，ｂ∈Ｒとして
よく知られているように和、積を定義したときの、
（０，１）がｉで、（０、－１）が、－ｉとすれば、彼らのアイデンティティは回復するのでは？

いかが？

お礼

なんだか皆さんからの回答を聞いて、複素数だけにイメージの世界からだんだんリアル世界が見えてきた気がします！

＞素直に、複素数を集合論的に構成する方法、すなわち、実数の順序対(a,b) :a,b∈Rとして

数学は大好きなのですが、高校修了程度の知識しか持ち合わせていないんです。
でも言いたいことはなんとなくわかります！
きっと、2乗して -1 になる数のうちで先に掴んだ方として定義した i でなくて、複素数の性質をもたせた順序対のうちの(0,1)を i と命名するということですね。

悪い意味じゃなく本末転倒ですが、確かにこれならアイデンティティ確立ですね！これは目から鱗でした。

回答No.5

nettiw

ANo.2です。

　そういう話かなと半分思っていました。
失礼しました。

　ANo.3様の書いていらっしゃる通りです。

　生半可な知識で、
この話と関係があるかないかも、
分からないのですが、

　ひと昔まえは、
遠隔地にいる２人が、右と左の区別を、
通信では伝えられないとされていました。

　が、
コバルト（なんとか）の放射により、
区別出来るとか。

　この話には、オチがついていて、
地球人が、ある宇宙人と左右の区別を、
伝達して、今度会うときは、
右手で握手しようと約束して、実際に会ったら、
その宇宙人は左手を出してきて、
宇宙人は、反物質で構成されていると分かり、
物質と反物質が相互作用したら・・・。

　と。　（これも御存知かとも思いますが。）

お礼

いえ、こちらこそ舌足らずですみませんっ

左右の区別を通信では伝えられない（確かにそんな気も！）とされていたことも、実は出来る（確かにそんな気も！）ことも、宇宙人オチ（確かにそんな気も！…ん？反物質？）も初めて聞きました。興味深いですね(^-^)

ところで、色覚異常ともまた別の話で、
私が赤く見ている紅葉を他の人も同じ色味で見えているのかは決してわかり得ないと聞いたことがあります。
赤と緑の i で考えたのは、共役複素数がこの色覚にそっくりだと思ったからです。

実は左右別を通信で伝えることが出来たように、
そして実は色覚異常の方も紅葉の美しさはわかるように、
実は i の区別はつくんだというコバルト的転回（笑）が起こらないかわくわくしていたんですが、残念です。ありがとうございました。

回答No.4

noname#101087

>ある「非零の」数に掛けてみて、その値がもとの数「の 3倍に等しい絶対値の純虚数に」なったとしたらそれは「-3i ではありません。3iです。」

これ(前便)は成立しない例でした。

ある「非零の」数に掛けてみて、その値がもとの数「の i3倍」と等しくなったとしたらそれは「-3i ではありません。3iです。」
としたら如何？

なぜ 2i じゃなくて 3i なのか、まだわかりません。

お礼

ありがとうございますその通りです！そしたらそれは 3i に違いありません！ただ、
ある非零の数に掛けてみて、その値がもとの数の z倍と等しくなったとしたらそれは z に違いない。
というのは -3i でも言えてしまいます。私はきっと 3i の 3i たる所以が知りたかったんだと思います。

そして、3i は -3i ではないものの、3i と -3i のアイデンティティは分かてないという結論に達しそうです。
としたら如何思いますか？

飛躍しすぎでしょうか(>_<)

回答No.3

rinkun

2とか3とかは関係ないですよね。
本質的にはiと-iの見分けがつかないという話でしょう。
1と-1は見分けがつく。二乗して自身に一致するのが1で、二乗して1になるが自身は1でないのが-1。
iと-iはどちらも二乗して-1になる数で、区別がつかない。
これは本質的で、iは二乗して-1になる数(2つある)の一方を取ったものというだけで、そのときにもう一方をとっても全く同じことです。最初に選んだ方がiでもう一方が-iになるだけ。
最初にとったのがどちらかは見分けがつかないし、だから区別する必要もない。単に一つをiとし、もう一方を-iとする。それで論理的に全く破綻しないから問題ありません。

お礼

＞見分けがつかないし、だから区別する必要もない。
なるほど！
私は赤い i と緑の i をイメージしていました。で私が赤い i を +i と呼んでいるとして、緑の i を +i と思っている人もいるかもしれないと考えてしまったんです。でも本当は色からして、どちらの i も同じなんですね。

ん？でも、二乗して 0 になる数(2つある)が白い 0 と白い 0 なのと訳が違って、二乗して -1 になる数(2つある)が同じ色の i のはずがないですよね(-_-;

あ、わかりました。赤い i を入れても緑の i を入れても構わないよ、という「枠」が +i なんですかね。ありがとうございました！

回答No.2

nettiw

現行の教育課程では、
複素数平面を学習しないので、
疑問が起きるのだろうと思います。

　（複素数平面/複素平面/ガウス平面）　で、
検索すれば、氷解すると思います。

　　　　　　　　　　　虚軸
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　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　(3i) 　(2+3i)
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　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　｜
―――　(-2)　――――　(2)――――実軸
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　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　(-3i)　(2-3i)
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　　　　　　　　　　　　｜

お礼

複素数平面、ありがとうございます！私は旧課程で修了しているので複素数平面を一応知ってはいるんです。

上の複素数平面を見て気づきましたが、2 と -2 は区別がつくので実軸には絶対的な方向が決められますよね。でも 3i と -3i は区別がつかないことからも、もしかして方向がない虚軸は成り立つんじゃないでしょうか！