表面積

質問

立体(x^2+y^2)^(1/3)+z^(2/3)=a^(2/3)の表面積ってどう求めたらいいんでしょうか？分かるかた教えてください。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

x^2+y^2＝r^2 とおきますと、与えられた式は、
　　r^(2/3)+z^(2/3)＝a^(2/3)　　・・・・(a)
となります。
　このことから、ｘとｙは半径ｒの円周上にあり、ｒとｚについては、ａをパラメータとするアステロイド曲線上にあることが分かります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89_%28%E6%9B%B2%E7%B7%9A%29
　さらに考えますと、問題の立体はアステロイド曲線をｚ軸周りに回転させたものであることが分かります（この辺のことはｘｙｚ座標で図示することが必須です）。

　そこで、この立体の表面積をＳとしますと、次のように表されます。
　　Ｓ＝[-a→a]∫2πr√{1+(dr/dz)^2} dz

　（この公式は、http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou27.html　の５．項を参照してください。）

　ここで、式(a)からｒ＝a{ 1-(z/a)^(2/3) }^(3/2) から、
　　dr/dz＝-(r/z)^(1/3)
　　√{1+(dr/dz)^2}＝√{1+(r/z)^(2/3)} ＝(a/z)^(1/3)
となりますので、表面積Ｓは次のように変形できます。
　　Ｓ＝2πa [-a→a]∫{ 1-(z/a)^(2/3) }^(3/2) (a/z)^(1/3) dz
　　　＝4πa [0→a]∫{ 1-(z/a)^(2/3) }^(3/2) (a/z)^(1/3) dz　　（被積分関数はｚの偶関数だから）

　(z/a)^(1/3)＝t とおきますと、
　　z＝at^3、dz＝3at^2 dt、z=0のときt=0、z=aのときt=1
ですから、ｚをｔに変数変換しますと、
　　Ｓ＝12πa^2 [0→1]∫(1-t^2)^(3/2) t dt
となります。
　さらに、t＝sinθ とおきますと、
　　dt＝cosθdθ、t=0のときθ=0、t=1のときθ=π/2
ですから、ｔをθに変数変換しますと、
　　Ｓ＝12πa^2 [0→π/2]∫(cosθ)^3 sinθ cosθdθ
　　　＝12πa^2 [0→π/2]∫(cosθ)^4 sinθdθ
　　　＝12πa^2 ・(1/5)
　　　＝(12/5)πa^2
と表面積が求められます。

＃　オーダから考えると、答えには a^2 の倍数になるかと思うのですが。

お礼

ありがとうございます。すごくわかりやすかったです。

回答No.3

joggingman

#1です。
x^2+y^2が一定のとき、同じｚの値をとるので、ｚ軸周りに
対称ということがわかります。
図形の意味については、２さんの説明がわかりやすいです。

また、計算も
2π(-3/5)a^(1/3){a^(2/3)-z^(2/3)}^(5/2)_0→a
=2π(3/5)a^(1/3)a^(5/3)
=2π(3/5)a^2
ｚ≦０の部分も対称性から同じだから、２倍して、
12(a^2)π/5
でした。２さんの結果が正しいです。

回答No.1

joggingman

ｘｚ平面で、
x^(2/3)+z^(2/3)=a^(2/3)
をｚ軸周りに１回転させてできる回転体の表面積なので、
公式が使えます。

-a≦z≦+a、0≦ｘ≦{a^(2/3)-z^(2/3)}^(3/2)=f(z)
をｚ軸周りに回転して得られる立体の表面積は、z≧０の部分は、
S=2π∫[0→+a] f(z)√{1+(f'(z))^2} dz
これを計算すればいいのではないかと。

f'(z)=(3/2){a^(2/3)-z(2/3)}^(1/2)*(-2/3)z^(-1/3)
　　　=-z^(-1/3)*{a^(2/3)-z(2/3)}^(1/2)
(f'(z))^2=z^(-2/3)*{a^(2/3)-z(2/3)}=a^(2/3)*z^(-2/3)-1
1+(f'(z))^2=a^(2/3)/z^(2/3)
よって、
∫{a^(2/3)-z(2/3)}^(3/2)*a^(1/3)*z^(-1/3) dz
[{a^(2/3)-z(2/3)}^(5/2)]'
=(5/2)(-2/3)z^(-1/3){a^(2/3)-z(2/3)}^(3/2)
だから、
2π(-3/5)a^(1/3){a^(2/3)-z^(2/3)}^(5/2)_0→a
=2π(3/5)a^(1/3)a^(2/3)
=2π(3/5)a
ｚ≦０の部分も対称性から同じだから、２倍して、
12aπ/5

計算は確認してみてください。
あと、公式は教科書に載ってます。

お礼

ありがとうございます。でもなぜ上式が『ｘｚ平面で、
x^(2/3)+z^(2/3)=a^(2/3)をｚ軸周りに１回転させてできる回転体の表面積』となるのかが分りません。。よかったらでいいので教えてくれませんか？