積分法(回転体の表面積)

質問

図がなくて申し訳ありません。

円 (x-25)^2+(y-5)^2=25 と、
y=5(0≦x≦20), x軸, y軸で囲まれた部分をy軸周りに回転してできる立体の表面積を求めたいのですが、
立体の上部と下部の表面積の合計は、

π×20^2+π×25^2
=1025π
です。ここまでは分かります。

しかし、残りの側面の部分の表面積の求め方が分かりません。

お分かりになる方、教えてください。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

大体こんな具合ですか？
●は円の中心．
少し離れて目を細くして見るといくらかましかも知れません．

　　ｙ
　　│
　　│　　　　　　　　　　　
　　│　　　　　　　　　　＊＊＊
　　│　　　　　　　　　＊　　　＊
　　│　　　　　　　　＊　　　　　＊
　５├────────＊　　●　　＊
　　│　　　　　　　　＊　　　　　＊
　　│　　　　　　　　　＊　　　＊
　　└──────────＊＊＊────ｘ
　０　　　　　　　　　20　　25

円の中心から垂直に下ろした線から左方向に角度θをとります．
θ～θ+dθ の間の弧の長さは 5 dθ
y 軸からの距離は 25 - 5 sinθ
したがって，θ～θ+dθに対応する微小表面積 dS は
dS = 2π(25 - 5 sinθ) 5 dθ
あとは，
S = ∫{from θ=0 to π/2} 2π(25 - 5 sinθ) 5 dθ
ですね．
計算はおまかせします．

　　　　　　　●　
　　　　　　／│
　　　　　／θ│
　　　　／　　│
　　　／　　　│

ミスタイプや計算間違いもあるかも知れませんので，
チェックもよろしく．

お礼

ご丁寧に図まで書いていただき、ありがとうございました。
ご回答いただいたやり方で理解することができました。
微小要素を使って解くとは考え付きませんでした。
私はベクトルを使って解こうとしましたが、うまくいきませんでした。

回答No.2

oshiete_goo

既に模範解答が出てしまっていますので，チェックの報告を．

実際計算してみると
側面積＝125π^2－50π
となります．

立式のポイントは
傾いたベルトのような（微小角θに対する）微小幅dL＝5dθ　を持った部分をｙ軸まわりの回転半径R＝25 - 5sinθ　で回転させると
(細かく言えば有限幅のベルトなら重心の回転半径でしょうが，今は微小幅なので，どこで測っても結果に差は出ない)

面積要素　dS＝2πR・dL＝2π(25－5sinθ)・5dθ

というところがポイントです．

お礼

ご回答ありがとうございました。
計算までして頂いて大変感謝しております。
私自身も計算して、同じ結果となりました。
立式のポイントも教えていただいて、ありがとうございました。