電磁気学の問題です。
次の問題がよくわかりません。
自分なりの解答を考えてみたのですがこれであっているのかどうか、
詳しい方、アドバイスしていただければと思います。
[問題]
座標平面上、(d/2,0)の点に電気量＋Q[C]の点電荷、
(-d/2,0)の点に電気量-Q[C]の点電荷があるとする。
この空間は真空であるとし、誘電率はε0であるとする。
点Pを(rcosθ,rsinθ)とするとき
(1)P点での電位Vを求めよ。
(2)r>>dのとき,(1)のVはどうなるか。
(3)(2)のときPでの電界のr方向成分とθ方向成分を求めよ。
[自分なりの解答]
(1)
Pと＋Qとの距離は、余弦定理より
(r^2+(d/2)^2-rdcosθ)^(1/2)
Pと-Qとの距離が余弦定理から
(r^2+(d/2)^2+rdcosθ)^(1/2)
よってP点での電位は
一般に距離がr,電荷がqの電位がq/(4πεr)であることを用いて
V=Q/(4πε0(r^2+(d/2)^2-rdcosθ)^(1/2))-Q/(4πε0(r^2+(d/2)^2+rdcosθ)^(1/2))・・・・（答）
(2)r>>dなので
1>>d/rである。
よって
V=Q/(4πε0(r^2+(d/2)^2-rdcosθ)^(1/2))-Q/(4πε0(r^2+(d/2)^2+rdcosθ)^(1/2))
＝Q/(4πε0r(r+(d/2r)^2-(dcosθ/r))^(1/2))-Q/(4πε0r(r+(d/2r)^2+(dcosθ/r))^(1/2))
≒Q/(4πε0r(1-(dcosθ/r))^(1/2))-Q/(4πε0r(1+(dcosθ/r))^(1/2)) （ここで(d/r)^2 ≒0とした）
＝Q((1-(dcosθ/r))^(-1/2))/(4πε0r)-Q((1+(dcosθ/r))^(-1/2))/(4πε0r)
≒{Q(1+(dcosθ/2r))}/(4πε0r)-{Q(1-(dcosθ/2r))}/(4πε0r)
（ここで1>>αのときの近似式 (1+α)^β=1+αβを用いた）
={Qdcosθ}/(4πε0(r^2))・・・（答）
(3)電界はどうすればいいのかわかりません。
電位を何かで微分すればいいのでしょうか？
お礼
ありがとうございます とても助かりました。