電磁気学

質問

こんにちは
以下の問題がわからなくて困っています
わかる方教えていただけないでしょうか？

原子核を半径Rの球として、陽子の電荷ｅは核内に一様に分布しているものとする。
原子番号Ｚの核の中心からｒ（ｒ＜Ｒ）なる点の静電ポテンシャルは

Ｚｅ/εV × (R2/2 - r2/6)

で与えられることを示し、また原子核のCoulombエネルギーは

We = 1/4πε × 3/5 × (Ze)2/R

で与えられることを示せ。
ただし、Ｖは原子核の体積である。

よろしくお願いします。

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。

とりあえずガウスの法則で解いてみましょう。
まずは電場を求めます。
原子核のつくる電場は球対称と見なせますから、
電場は中心からの距離 r のみの関数 E(r)となります。

また、原子核の内部と外部で電場の関数形が違いますから、
場合分けが必要です。

下準備として、電荷密度 ρ [C/m3] を定義しておきましょうか。

　(1)　　ρ = Ze / V

【原子核内部】
半径 r の球内に分布した電荷が作る電場 (E内) を考えます。
ガウスの法則に従えば、

　(2)　　∫ (E内)・dS = (1/ε) ∫ ρdV

となりますが、この球面内では (E内) は定数と見なせますし、
電荷密度 ρ も定数ですから、ほとんど積分はいりません。

　(3)　　(左辺) = ∫ (E内)・ds = (E内) ∫ ds = (E内)*(4πr2)
　(4)　　(右辺) = (1/ε) ∫ ρdV
　　　　　　　　= (ρ/ε) ∫ dV
　　　　　　　　= (Ze/εV) (4/3) πr3

ですね。 では原子核内部の電場 (E内) を求めましょう。

　(5)　　(E内)*(4πr2) = (Ze/εV) (4/3) πr3
　　　　　　⇔　(E内) = (Ze/3εV) r

【原子核外部】
外部では、電荷は常に半径 R の球内に一様分布しています。
つまり、(2)式の右辺だけがほんのちょっと変わります。

　(6)　　(右辺) = (Ze/εV) (4/3) πR3

r が R に変わっただけですね。
では(3)式と(6)式から原子核外部の電場 (E外) を求めましょう。

　(7)　　(E外)*(4πr2) = (Ze/εV) (4/3) πR3
　　　　　　⇔　(E外) = (Ze/3εV) (R3/r2)

【電位】
求めた電場から電位（＝静電ポテンシャル） φ(r) を求めましょう。
qφ = W = ∫ Fdr = ∫ qEdr ⇔　φ = ∫ Edr ですから、
電位は電場を距離で積分すれば求まるわけですが、問題は積分範囲です。
ここはご自分でもよく考えて欲しいですが、
ある電荷を、『クーロン力と逆向きの力』を加えながら

　●　　まず 原子核外部の電場中で 無限遠 → R まで運ぶ
　●　　次に 原子核内部の電場中で R → r まで運ぶ

わけです。そうすれば、位置 r での電位が求まります。
よって、

　(8)　　φ(r) = -∫ [∞→R] (E外)dr -∫ [R→r] (E内)dr
　　　　　　　 = (Ze/εV) (R2/2 - r2/6)

が得られるはずです。やってみて下さい。

【クーロンエネルギー】
これについてはちょっと考え方を変えましょう。
そもそも原子核の持つクーロンエネルギーとは、
お互いにはたらくクーロン斥力に逆らって陽子をある距離内に
運んでくるのに必要なエネルギー（仕事）のことです。
状況が比較的複雑なので添付の絵を見ながら考えて下さい。

まず、ある距離 r を半径とするような球を考えます。
電荷密度が一様にρだとすれば、
この球の体積 V, 表面積 S, および電荷 q は

　(9)　　V = (4/3)πr3
　(10)　　S = 4πr2
　(11)　　q = ρV = (4/3)πρr3

です。次に、ある『厚み』 dr 分だけの電荷 dq を、無限遠から運んできます。
厚み dr の部分の微小体積 dV （グレーの部分）は、『表面積×高さ』と見なして

　(12)　　dV = S dr = 4πr2 dr

ですから、この体積中に含まれる電荷 dq は

　(13)　　dq = ρdV = 4πρr2 dr

となります。ここまでよいでしょうか…。
さて、この電荷 dq をクーロン斥力に逆らって運んでくるわけです。
そのクーロン力の大きさはどう書けるでしょうか？

これを知るためにとりあえず、ある距離 a での、
半径 r の球が作る電場 E を考えましょう。
これは先程の問題と同じように考えればよいですから、

　(14)　　∫ E・dS = (1/ε) ∫ ρdV
　　　　　　⇔　E 4πa2 = (ρ/ε) (4/3)πr3
　　　　　　⇔　E = (ρ/3ε) (r3/a2)

です。クーロン力は 電場×電荷 ですから、

　(15)　　F = dq * E
　　　　　　= 4πρr2 dr * (ρ/3ε) (r3/a2)
　　　　　　= (4π/3ε) ρ2 (r5/a3) dr

という形で書けることがわかりました。汚いですね＾＾；
というわけで、この力を距離 a で、∞ → r まで積分すれば、
微小電荷 dq を無限遠から位置 r まで運ぶのにする
『微小仕事 dW』が求まるでしょう。
（r で積分しないように注意して下さいね。）

　(16)　　dW = ∫ [∞→r] Fda
　　　　　　 = (4π/3ε) ρ2 r4 dr

となりました。
符号に注意して下さい。『クーロン力に逆らう』向きは、
進行方向と同じ向きです。つまり＋の仕事です。

まだ終わりではありません。
これは距離 r のところへ電荷を運ぶ『微小』仕事ですから、
電荷を位置 0 へ運ぶ仕事から、位置 R へ運ぶ仕事まで、
全ての微小仕事を足し上げなくてはなりません。
すなわち、今度こそ距離 r で積分します。
積分範囲は 0 → R です。

　(17)　　We = ∫ dW
　　　　　　 = (4π/3ε) ρ2 ∫ [0→R] r4 dr
　　　　　　 = (4π/15ε) ρ2 R5
　　　　　　 = (1/4πε) (3/5) (Ze)2 (1/R)

となり、目的の式が得られました。
最後に(1)式および V = (3/4)πR3 を代入しています。

しっかり解くとこんな感じでしょう。
お疲れ様でした。

お礼

ありがとうございます。

これからノートに整理して解いてみます。