平方根を理解できません

質問

中一男子です。数検を受けようと思って勉強をしているのですが、平方根が全く理解できません。長文になってもいいので教えてください。(できれば因数分解、素因数分解もお願いします)

回答No.4

debut · ベストアンサー

平方根
●ａ^2＝ｘとなるときのａをｘの平方根という。
　＜例＞２乗すると９になる数は、３^2＝９、(－３)^2＝９
　　　　なので、それは３と－３。
　　　　よって、９の平方根は３、－３である。
　ただ、２乗して６になる数は？と聞かれれば、整数ではない
　（無限に続く小数）ので、この場合、根号の√ (ルート)を
　使って、６の平方根は　√６と－√６　である、と答えます。
　問(1)16の平方根は？(2)10の平方根は？＜(1)4,-4(2)√10,-√10＞

●平方根の乗除
　　√ａ×√ｂ＝√(ａｂ)　と計算できる。（割り算も同様）
　　例。√５×√３＝√15

●根号の中の数を簡単にする
　　例えば、９の平方根の正の方は３ですが、これを根号を
　　使って√９ともできます。（普通は３の方で表します）
　　ここで大事なのは、√９＝√(3^2)＝３のようにできる
　　ことです。
　　このことと、乗法を利用すれば、例えば12の平方根の正の
　　方である√12は、√12=√4×√3=√(2^2)×√3=2×√3
　　つまり、√12=2√3（文字式みたく、2×√3の×は省けます）
　　のように、根号の中の数を小さくできます。
　　そして、普通はできるだけ根号の中の数を小さくするよう
　　にします。
　　問。√18、√72の根号の中をできるだけ小さい整数にしなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜√18=3√2、√72=6√2＞

●平方根の加減
　　普通の計算みたく、√２＋√３を√５とはできないことに
　　注意します。√２＋√３はこれ以上できないので、ここで
　　終了です。
　　で、加減ができるのはどんな場合か？というと、根号の中
　　の数が同じになっている場合です。
　　例えば、２√５＋４√５は、√５が２つと√５が４つで
　　合計√５が６つになるから、２√５＋４√５＝６√５と
　　計算できます。つまり、根号の中の数が同じなら外側の
　　数を加減すればいいということ。
　　ただ、√２＋√８などは一見根号の中の数が違っている
　　からできなさそうだけど、√８は上で書いた小さい数に
　　する方法を使えば2√2にできるから、
　　√２＋√８＝√２＋２√２(√2が１個と２個で)＝３√２
　　とできます。
　　問。２√２－６√２＋√１８＝　　　　　＜答え。－√２＞

●分母の根号をなくす（分母の有理化）
　　３÷√６は分数で表すと３/√６ですが、普通分母にある
　　根号はなくすことにしています。
　　で、どうすればなくなるかというと、√６×√６＝６
　　（√６は６の平方根なので、２乗すれば６にもどる）を
　　利用します。分母と分子それぞれに√６をかけて、
　　(３/√６)×(√６/√６)＝(３×√６)/(√６×√６）
　　　　　　　　　　　　　＝(３√６)/６　＜３と６を約分＞
　　　　　　　　　　　　　＝√６/２
　　とできます。

かいつまんで書いてみました。
たぶん３級を受けるんだと思いますが、(ａ＋ｂ)^2の展開式
などもからめて、乗除、加減を練習してね。
例。（√２＋√３)^2＝(√２)^2＋２×√２×√３＋(√３)^2
　　　　　　　　　＝２＋２√６＋３
　　　　　　　　　＝５＋２√６

お礼

練習問題まで書いていただきありがとうございました

回答No.3

noname#44733

No.１です。
NO.２＞平方根は中３内容でございます(笑)

せっかくなので素因数分解について。
２以上の整数は約数が１とそれ自身の２つしかない素数とそうでないもの（合成数といいます）の２種類に分けられます。２，３，５，７，１１などが素数で、４，６，１０などは合成数です。
合成数は素数の積で表せます。その作業を素因数分解といいます。例えば３０や５４を素因数分解すると、
３０＝２×３×５
５４＝２×３×３×３
または５４＝２×３＾３←２かける３の３乗
といった具合です。
（因数分解は系統っぽいのがぜんぜん異なるのですが・・べつの書き込みでまた質問されては？）

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました

回答No.2

Mumin-mama

想像してください。

ここに一辺が１０ｃｍの折り紙があります。

この紙の面積はいくらですか？

１０X10＝１０の２乗＝１００（センチメートル平方）

それでは、ここに１００センチメートル平方の四角い折り紙があります。一辺の長さはいくらですか？
平方根を使って解きなさい。

√１００＝√（１０の２乗）＝１０（ｃｍ）
（ここではプラスマイナスは無視します。）

平方根とは、２乗するとその数と等しくなる数のこと。

平方根は面積が分かっているけれど、正方形の一辺の長さを知りたい時に使えると思うと、なんとなく分かるのではないでしょうか。

中学１年で習う数学は教科書を暗記（暗記するほど読む）と理解できるようになります。また、理解できないときには先生やクラスの理解している人に聞きましょう。

お礼

物分かりの悪い僕でもわかりました。ありがとうございました。。。

回答No.1

noname#44733

平方根とルートについてさらっと。

２乗してAになる数をAの平方根といいます。
例えば２は４の平方根です。
また、－２も２乗すると４になりますから、－２も４の平方根です。
２乗して４になる数はこの２つのみですから、４の平方根はこの２つというわけです。
同様に２５の平方根は±５です。

整数や分数で２乗して２や３になる数は存在しません。しかし２乗して２や３に近くなるような数を探してみると、それらはどちらも１と２の間だと見当がつくでしょう。・・２より大きい数を２乗すると４より大きくなるからです。
１．４１４・・や１．７３２・・を２乗すると２や３に近くなります。これらをそれぞれ√２、√３とあらわします。すなわち、√２は２乗すると２になります。
また、ー１．４１４・・も２乗すると２になりますが、こちらはー√２と書きます。２の平方根は±√２というわけです。

√について改めて説明します。ある（正の）数Aがあったときに２乗してAになる数、すなわちAの平方根のうち、正のほうを√A、負のほうをー√Aと書くわけです。するとAの平方根は±√Aとなるわけです。
・・例えば√４や√２５はそれぞれ２，５です。

√AB＝√A√Bがなりたちます。例えば√６＝√２√３です。
同様に√A/B=√A/√Bです。例えば√2/3＝√２／√３です。

・・参考書などの例題→問題演習にとりくんでみましょう。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。。。