二つ折りのドアの動きでできる曲線（包絡線）

質問

バスの前のドアは、二つ折りになっています。
そして、ドアが開閉したときに床との摩擦で、床に「跡」がついていることがあります。
その「跡」の形が気になりました。

http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/world/door/door.htm

を参考にしてください。

そこの赤い領域の境界の曲線は、どういった形なのでしょうか?

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ドアのヒンジを原点にして直交座標系を考え、ドアの先端A点がx軸上を動くことにしましょう。折れ曲がるのは中点Mで、OMは円弧を描く。従って、Mのx座標をtとするとMの座標は(t, (1-t^2)^(1/2)) です。三角形OMAは二等辺三角形なのでAの座標は(2t, 0)、そして、tが0から1の間を動く訳です。

ところで、∠OMAが90度のときにMAは円OMの接線になる。つまり、∠OMA≧90度（つまりt≧(√2)/2）のときにはMAの包絡線が、そして∠OMA≦90度（つまりt≦(√2)/2）のときは円OMが、「危ない範囲」の輪郭線になります。

MとAを通る直線の方程式は、
y = (((1-t^2)^(1/2))/t) (2t-x)
と書けます。包絡線は、
dy/dt = 0
となる(x,y)[つまり、tをちょっと動かしても変化しない場所を、いろんなtについてつないだもの]で与えられますんで、上記の式を微分してxについて解けば、
x = 2(t^3), y=2((1-t^2)^(3/2))
が得られ、さらにtを消去して
(x^(2/3))+(y^(2/3))=2^(2/3)
と表すことができます。以上まとめると、
輪郭線の方程式は、
0≦x≦(√2)/2のとき、 (x^2)+(y^2)=1
(√2)/2≦x≦2のとき、(x^(2/3))+(y^(2/3))=2^(2/3)
x=(√2)/2の時にはどちらの式でもy=(√2)/2です。

ANo.1さんと同じになったかな？

お礼

まことにありがとうございます。

>(√2)/2≦x≦2のとき、(x^(2/3))+(y^(2/3))=2^(2/3)

というのはアステロイドですね。これは意外でした。
アステロイドは両軸上に端点を持つ長さ一定の線分を動かしていたっときの包絡線でもありますが、それと一致するとは。
なんとか平面幾何学的に説明できないものかと考慮中であります。

回答No.7

stomachman

> 画像の取っ手部分の軌跡を求めるのもおもしろいかもしれないですね

というANo.4のコメントについて。

画像を見ました。ドアの先端Aをさらに延長したところに点Cを取って、Cの軌跡を考えるって話なら、円運動する点Mと直線運動する点Aに繋がったリンク上の任意の点が楕円軌道を描くのを確認すればいいんじゃありませんかね？やっぱり、ご質問の元の問題の方がおもしろいと思うけどなあ。

回答No.6

noname#57316

#5です。
連立と書いたのは、
F(X,Y,t)={X・(r-t)}^2+{Y・(r+t)}^2-(r^2-t^2)^2　としたときの、
∂F(X,Y,t)/∂t=0と、Y=(r-t)√{(r+t)^2-X^2}/(r+t)　の連立の誤りでした。
訂正させて頂きます。

回答No.5

noname#57316

折り畳まれる側のドアをドア1とし、ドア1に引っ張られて移動するドアをドア2とします。
ドア1の回転軸の中心の位置を原点に置き、ドア全体が延びきる方向を実軸に
取ります。
両方のドアが延びきっているとき（ドアが閉の状態）から、ドア1が正の方向に回転するとし、
その回転角をθとします。そしてドア1、ドア2の長さをrとします。

θが0からπ/2まで変化する時、ドア1とドア2の接続点から測った長さがtのドア2上の点、zが取る
複素平面上の座標を(X,Y)とすると
z=r・exp(iθ)+t・exp(-iθ)　
（ただし、0≦θ≦π/2です）

zの実部、Xは、X=r・cosθ+t・cosθ=(r+t)・cosθ
0≦θ≦π/2より、0≦X≦r+t
zの虚部、Yは、Y=r・sinθ-t・sinθ=(r-t)・sinθ
0≦θ≦π/2より、0≦Y≦r-t

これから、
{X・(r-t)}^2+{Y・(r+t)}^2={(r-t)(r+t)}^2、つまり、
{X・(r-t)}^2+{Y・(r+t)}^2=(r^2-t^2)^2
が、ドア2のドア1との接続点からの距離tにおける軌跡です。

これは、また
Y=√[(r^2-t^2)^2-{X・(r-t)}^2]/(r+t)
Y=(r-t)√{(r+t)^2-X^2}/(r+t)
とも表わせます。

包絡線は、∂Y/∂t=0 として得られる式と、軌跡の式を連立させればよいのですが、
ここまでとさせて下さい。

回答No.4

stomachman

ANo.3のコメントについてです。

あらら、アステロイドをご存知でしたか。なら、一瞬で解けますよ。

MAの延長線がy軸と交わるところをBとすれば、△OMBも二等辺三角形で、従ってMBの長さ=OBの長さ。だからABの長さはtによらず一定。

ね？

お礼

すごい。おっしゃいます通り瞬殺ですね。

∠MOA=∠MOA=aとすると、
∠MOB=90°-a
∠MBO=180°-90°-a=90°-a
より、△OMBも二等辺三角形で、MB=MO

ですね。
そういえば、押してあけるドア
http://www.sgs-g.com/7031p0039n65363.jpg
も似た形状ですね。その画像の取っ手部分の軌跡を求めるのもおもしろいかもしれないですね。

回答No.2

inara

ANo.1 です。
【ドア全体が描く包絡線】の最後の式が間違っていました。以下が正解です（x の範囲の間違い）
　　L/√2 ≦ x ≦ 2*L のとき　　y = - √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 }*[ x - 2*L*{ x/( 2*L ) }^(1/3) ]

回答No.1

inara

この場合、２つのドア全体の包絡線（赤い領域の上の曲線）は、先端側のドアの包絡線と、蝶番（ちょうつがい）の部分が描く曲線をつないだものになります。

ドアの長さが異なる場合は非常に複雑になるので、ドアの長さは同じとします。二つ折りドアを上から見たとして、下図のように、xy座標で描きます。

　　y　　　　　　P
　　↑　　　　 ／＼
　　│ L　／　　　　 ＼ L
　　│／　θ　　　　　　θ ＼Q ⇔
　O ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ x

幅 L の2枚のドアのうち、一方のドアが原点Oを支点として回転し、２つのドアが連結している蝶番部分を点P、もう１方のドアの先端部分を点Qとします。点Qはx軸上に拘束されていて x = 0 から x = 2*L まで動きます。このとき、線分PQの軌跡が作る包絡線が１つ決まりますが、線分PQは有限の長さなので、Qの位置 x がある値より小さくなると、包絡線はPQが描くものでなく、点Pが描くものになります。まず、PQが描く包絡線を求め、次にPが描く曲線を求め、最後にこれらが交わるところを計算して、その点を境に２つの曲線をつないだものを包絡線とします。

【PQが描く包絡線】
点Pの座標を（xp, yp）、点Qの座標を（xq, 0） とします（点Qはx軸上にあるのでy座標はゼロ）。線分OPとx軸の角度を θ （0 ≦ θ ≦ 90度）とすれば、線分QPとx軸の角度は θ なので
　　　xp = L*cosθ
　　　yp = L*sinθ
　　　xq = 2*L*cosθ
点Pと点Qを通る直線の方程式は
　　　y = - yp/( xq - xp )*( x - xq )
で表されるので、上で求めたxp, yp, xq の値を入れれば
　　　y = -tanθ*( x - 2*L*cosθ )

元の曲線が媒介変数 θ を使って
　　　f(x,y,θ) = 0 --- (2)
で表されるとき、これと
　　　∂f/∂θ = 0
を連立させて θ を消去したものが包絡線の方程式になります [1]。

ドアの動きに応じてドアPQが描く直線群の方程式(1)を式(2)の形に変形すれば
　　　f(x,y,θ) = y + tanθ*( x - 2*L*cosθ ) = 0 --- (3)
なので
　　　∂f/∂θ = -2*L*cosθ + x/( cosθ )^2 = 0
　　　→ cosθ ={ x/( 2*L ) }^(1/3) --- (4)
　　　→ tanθ =√{ 1 - ( cosθ )^2 }/cosθ = √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 } --- (5)
式(4), (5) を式(3)に代入して θ を消せば
　　　 y + √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 }*[ x - 2*L*{ x/( 2*L ) }^(1/3) ] = 0
　　　→ y = - √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 }*[ x - 2*L*{ x/( 2*L ) }^(1/3) ] --- (6)
これが包絡線の方程式です。X = x/L、Y = y/L とおけば
　　　Y = - √{ ( 2/X)^(2/3) - 1 }*[ X - 2*( X/2)^(1/3) ]
x が 0 から 2*L まで動くとき、X は 0 から 2 まで動くので、X と Y の関係をグラフに描くと、(0,2) と(2,0) を通る下に凸の曲線になります。しかし線分PQは有限の長さなので、線分PQの軌跡による包絡線はこの曲線の１部（右側）だけになります。

【蝶番Pが描く曲線】
こちらは簡単です。原点Oを中心とした半径 L の円の半分ですから
　　　y = √( L^2 - x^2 ) --- (7)
です。

【ドア全体が描く包絡線】
曲線(6)と(7)のうち、yの値が大きいほうが２つのドアの描く包絡線になります。その境界では同じyの値なので
　　　 √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 }*[ x - 2*L*{ x/( 2*L ) }^(1/3) ] = √( L^2 - x^2 )
この解は
　　　x = L/√2
ですので、２個のドア全体が描く包絡線は、曲線(6)と(7)を x = L/√2 を境界としてつないだもので、以下のようになります。
　　0 ≦x ≦L/√2 のとき　　y = √( L^2 - x^2 )
　　L/√2 ≦ x ≦L/√2 のとき　　y = - √{ ( 2*L/x )^(2/3) - 1 }*[ x - 2*L*{ x/( 2*L ) }^(1/3) ]

この曲線を Excelで描くには、例えば A列のセルに A1からA21まで 0, 0.2, ...., 2の数字を書き（x/Lに相当）、B1に
　　　=IF(A1<1/SQRT(2),SQRT(1-A1^2),-SQRT((2/A1)^(2/3)-1)*(A1-2*(A1/2)^(1/3)))
と書いて（この式をコピーペーストする）、B1セルをコピーしてB2～B20までペーストすればＢ列にy/L の値が書き込まれます。Ａ列とＢ列でグラフ（散布図）を描けば包絡線のグラフとなります。

[1]　包絡線の方程式　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E7%B5%A1%E7%B7%9A

お礼

ものすごくすばらしい回答に驚いております。
よくわかりました。

曲線は名のあるものかなあと思っていましたが、そうではなさそうですね。