集合の問題で困ってます

質問

集合Xは4つの数からなっていて、乗法に関し閉じています。
0がXの元の1つならば、X={0,1,ω,ω^2}であることを証明したいです。
そこで、0以外の元の1つをxとおくと、Xが乗法に関し閉じていることから、0,x,x^2,x^3,x^4は全てXの元であるところまではわかったのですが、これがX={0,1,ω,ω^2}となるにはどうすればよいのでしょうか？？
どなたか教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.7

noname#57316 · ベストアンサー

X={0,a,b,c}とすると、
a・b=a　となるｂが存在する。そのｂは１でなければならない。
∴　X={0,a,1,c}
a・c=1　となる、互に異なるａとｃがＸの元として存在する。
そして、このａからa^2　を作ったとき、a^2=1　か、a^2=c
でなければならない。

　1）a^2=1　なら、a=±1であり、１だとｂと重複するので、
　a=-1　となる。
　このとき、X={0,-1,1,c}　となるが、ｃ以外の元を如何に
　使おうと、０,-１,１以外の新たな数が出せず、「4つの数
　からなり、乗法に関し閉じている」との条件を満たす集合
　とはならない。
　従って、a≠-1

　2）a^2=c　のとき、c^2=a^4　となるので、a^4　は、
　１、ａ、または、ｃでなければならない。

　　2-1）a^4=1 のとき、a=±1　または、±i（虚数単位）
　　前者の値は取れないので、a=±i
　　このとき、X={0,i,1,-i}となるが、a^2=-1　が元として
　　含まれないので、a≠±i

　　2-2) a^4=a のとき、a≠0より、a^3=1
　　これを満たすａの解は、1、ω、または、ω^2　であるが
　　１以外の数をとれば、ω、または、ω^2　であり、a=ω、c=ω^2
　　または、a=ω^2、c=ω　となり、X={0,ω,1,ω^2}である。
　　このとき、a・c=1、a^2=c、a^4=ω、または、ω^2　であり　　
　　全ての条件を満たす。　

　　2-3) a^4=c のとき、a^2=c と連立させると、a^2=1となり
　　1)の場合と同じとなる。

従って、条件を満たす集合Ｘは、X={0,ω,1,ω^2} しかありえない。

お礼

ご回答ありがとうごいざいます。
詳しくわかりやすかったので理解できました。
ありがとうございました。

回答No.8

Meowth

X’が半群のときの例
{ α、β、γ｝
α＾2=α
β＾2＝β
α×β=γ
で可換のとき
X'は、乗法について閉じている
０元を付加して
X=｛０,α、β、γ｝
は条件を満たす。
α＾2=β
β＾2＝α
α×β=γ
で可換のとき
γは単位元になる
γ=１
α×β=1　から
αとβは逆元
アーベル群の場合に帰着する。
（以下　単位元はないとして、α＾3=αの場合へ進む）

お礼

ご回答ありがとうございます。
Meowthさんの回答とても参考になりました。
私の勉強不足ゆえ理解できない点も何箇所かありましたので、
もっと勉強しなければと思いました。ありがとうございました。

回答No.6

Meowth

モノイドのとき　３元の集合X'は
X'={1,α,α^2}
α^3は1,α,α^2のどれかに等しい
(1)α^3=α^2と定義すれば、X'は乗法に関し閉じている。
(2)α^3=αと定義すれば、X'は乗法に関し閉じている。
(3) α^3=1と定義すれば、X'は乗法に関し閉じている。
ちなみに(1)、(2)には逆元が存在しないが、
(3)のときは、逆元が存在する
αの逆元　α^2　
α^2の逆元　α
よって、(1)～(3)、いずれも、条件を満たす。
これに0元を付加した、集合Xは条件を満たす。
X={0,1,α,α^2} DEF. α^3=α^2
X={0,1,α,α^2} DEF. α^3=α
X={0,1,α,α^2} DEF. α^3=1

ANo5.の最後訂正します。2式目で0が抜けてました
X'={0、1,α、α^(-1)}={0,1,α,α^2｝（α^3=(def)=1, または、α^2=(def)=α^(-1)｝

回答No.5

Meowth

０は０元？
∃x∈X　 x0 = 0x = 0
集合Xは零半群　?
０を除く３つの元からなる集合X'で乗法に関し閉じた集合をつくり
0元を付加する。

単位元、逆元がある場合（X'はアーベル群の場合）を考えると

乗法の単位元　1は　X'の元
αが元ならばα-1
も元
したがって、
X'={1,α、α^(-1)}
でなくてはならない。
α×α=βもXの元
α×α=(def)=1
とすれば、
α＝α^(-1)
から、X'={1,α}（αの逆元=(def)=α、α^2=1）
となり、元が２つ（以下）になる。 　実数なら{1.-1} {1}
α×α=(def)=α^(-1)
のとき
すなわち、
α×α×α=(def)=１
のとき、
α^2=α^(-1)
より、
X'={1,α,α^2｝　（α^3=(def)=1, または、α^2=(def)=α^(-1)｝
は、乗法についてアーベル群になる
したがって、
０元をふかした
X'={0、1,α、α^(-1)}={1,α,α^2｝（α^3=(def)=1, または、α^2=(def)=α^(-1)｝
は要素4の半群になる。
Xの要素が複素数の場合、α^3=(def)=1からαは1の3乗根ωになる。

回答No.4

Meowth

ごめん　まちがえた
0元を加えるならば
なので0元を加えるのが前提でした。

回答No.3

Meowth

命題
　集合Xは4つの数からなっていて、乗法に関し閉じている
→X={0,1,ω,ω^2}である

X={1,i,-1,-i}

だと、乗法について閉じている
したがって　命題は成り立たない

回答No.2

11th_style

x≒0なので、x^4 = x or x^4 = x^2 or x^4 = x^3 です。それぞれでx = 1、ω、ω^2の場合があるので、各パターンで場合分けして泥臭く計算し続ければればでましたが、もちょっとスマートな方法がありそうな気もしました。

回答No.1

koko_u_

X は複素数の集合なのかな？それとももっと一般の半群？
X には 4つしか元がないから x^4 は 0, x, x^2, x^3 のどれかと同じだね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ωは1の3乗根でω=(-1+√3i)/2とありますので、
半群とかではないと思います。
>x^4 は 0, x, x^2, x^3 のどれかと同じ
ということはx=1を導ければいいのでしょうか？