三角形の問題です

質問

ＡＢ＝６、ＡＣ＝３、cosＡ＝１/４である三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの長さはＢＣ＝６である。

辺ＡＣのＣ側の延長上に点Ｄを∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣとなるようにとる。ＢＤ＝ｘ、ＣＤ＝ｙとおくとｘ＝２ｙである。

また、cos∠ＢＣＤ＝－１/４であるからｘ^２ーｙ^２－３ｙ－３６＝０である。

よって、ＢＤ＝８、ＣＤ＝４である。

辺ＢＣ＝６という答えまでは自力で出せたのですが、この後がどうやって解けばいいのかわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

debut

No2です。
＞質問ですが、三角形ＡＢＣの余弦定理の式というのは
＞ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２－２ａｂcosＣというものですか？
そうですよ。

これを、△ＢＣＤにあてはめれば、
　　ＢＤ^2＝ＢＣ^2＋ＣＤ^2－２*ＢＣ*ＣＤ*cos∠ＢＣ Ｄ
となるので、
ＢＤ＝ｘ、ＢＣ＝６，ＤＣ＝ｙ、cos∠ＢＣ Ｄ＝－1/4を
いれて、移項などすれば、ｘ^2－ｙ^2－３ｙ－36＝０の式
が得られるかと思います。やってみてください。

お礼

やってみました！！解けて嬉しいです。
詳しい回答ありがとうございました。

回答No.2

debut

＞辺ＢＣ＝６という答えまでは自力で出せたのですが、この後が・・
ということは、ｘ＝２ｙとなることとか、cos∠ＢＣ Ｄ＝－1/4
とかになることも含めてということですか？

ｘ＝２ｙとなる理由は、角の二等分線に関する性質(※)からです。
ＢＣは∠ＡＢＤの二等分線なので、
　ＡＢ：ＤＢ＝ＡＣ：ＤＣ　・・・(※)
が成り立ちます。６：ｘ＝３：ｙから、ｘ＝２ｙです。

また、△ＡＢＣ は二等辺三角形なので∠Ａ＝∠ＡＣ Ｂであり、
∠ＢＣ Ｄ＝180°－∠ＡＣ Ｂ＝180°－∠Ａ　となるから
cos∠ＢＣ Ｄ＝cos(180°－∠Ａ)＝－cos∠Ａ＝－1/4です。

後は、△ＢＣ Ｄでの余弦定理の式とｘ＝２ｙを連立させて
ｘ、ｙが求められます。

補足

回答有難うございます。
ＢＣ＝６以外は分かりませんでした。

質問ですが、三角形ＡＢＣの余弦定理の式というのは
ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２－２ａｂcosＣというものですか？

回答No.1

abyss-sym

文章から
ｘ＝２ｙ
ｘ^２ーｙ^２－３ｙ－３６＝０
この二つを使って考えてみてください。

補足

回答ありがとうございます。
ｘ＝２ｙとなるのはどうしてなのでしょうか？