数学を教えてください

質問

２つの円C1:x^2+y^2=25,C2:(x-4)^2+(y-3)^2=2について
(1) C1,C2の両方の面積を二等分する直線の方程式を求めよ。
(2)C1,C2の２つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
(3)C1,C2の２つの交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式を求めよ。
という問題です。
答えは
(1)y=3/4x
(2)y=-4/3x+8
(3)x^2+y^2-20/3x-5y+15=0
となるそうです。
解説よろしくお願いします。

回答No.2

info222_

C1:x^2+y^2=25,
C2:(x-4)^2+(y-3)^2=2
(1)
C1の中心座標:原点O(0,0),
C2の中心座標:点P(4,3)
C1,C2の両方の面積を二等分する直線:
原点O(0,0)と点P(4,3)を結ぶ直線OPである。
原点O(0,0)を通り傾き3/4の直線であるから
y=(3/4)x ... (Ans.)

(2)
C1の半径r1=5,C2の半径r2=√2
OP=√(4^2+3^2)=√25=5<r1+r2=5+√2より
２つの円C1とC2は2点A,Bで交わる。
2つの円C1とC2の交点A,B: 連立方程式:
C1:x^2+y^2-25=0 ...(a)
C2:(x-4)^2+(y-3)^2-2=0 ... (b)
を解いて
A(3,4), B(117/25, 44/25)
C1,C2の２つの交点A,Bを通る直線の方程式
(a)-(b)より
2(4x+3y-24)=0
∴y=-(4/3)x+8 ... (Ans.)

(3)
C1,C2の２つの交点を通る円の方程式:
kを実数の定数として, (a),(b)を用いて
(x^2+y^2-25)+k((x-4)^2+(y-3)^2-2)=0 ...(c)
点(x,y)=(3,1)を通る条件を用いると
(9+1-25)+k(1+4-2)=0
∴k=5
(c)に代入して
(x^2+y^2-25)+5((x-4)^2+(y-3)^2-2)=0
2(3x^2+3y^2-20x-15y+45)=0
x^2+y^2-(20/3)x-5y+15=0 ... (Ans.)

回答No.1

noname#227255

(1)
円C1の中心は原点O(0,0)、円C2の中心は点(4,3)であるから、これらの2点を通る直線になります。
よって、原点O(0,0)を通り、傾きが(3-0)/(4-0)=3/4の直線であるから、
y=3x/4

(2)
円C1の方程式を変形すると、x^2+y^2-25=0－(a)
また、円C2の方程式を展開して変形すると、x^2+y^2-8x-6y+23=0－(b)
(a)-(b)から、
8x+6y-48=0
4x+3y-24=0
3y=-4x+24
y=-4x/3+8

(3)
x^2+y^2-25+k(x^2+y^2-8x-6y+23)=0が、円C1とC2の交点を通る円の方程式になります。
これが、点(3,1)を通るから、
3^2+1^2-25+k(3^2+1^2-8*3-6*1+23)=0
9+1-25+k(9+1-24-6+23)=0
3k-15=0
k-5=0
k=5
よって、求める円の方程式は、
x^2+y^2-25+5(x^2+y^2-8x-6y+23)=0
6x^2+6y^2-40x-30y+90=0
x^2+y^2-20x/3-5y+15=0