上極限,下極限のこの不等式の等号成立例は?

質問

上極限,下極限を夫々^lim,_limで表す事にします。

[Q.]
Let {a(n)} and {b(n)} be bounded sequences in R.
We know _lima(n)+^limb(n)≦^lim(a(n)+b(n))≦^lima(n)+^limb(n) …(*).
Given an example to show that equality need not hold in (*).

つまり、等号成立となる例を挙げよという意味だと思います。
どのような例が挙げられますでしょうか?

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>左辺=0,中辺=1,右辺=2
>で真不等号
>_lima(n)+^limb(n)<^lim(a(n)+b(n))<^lima(n)+^limb(n)
>成立なのですね。

正解です。

お礼

お陰様で安心致しました。

回答No.2

koko_u_

>えー。やさしいですかね。
易しいというのがヒントです。

参考書にわざわざ例を挙げよ、と書いているのは『ここが考え所ですよ』と注意を喚起しているのです。
RumikoOgaw さんが自分で例を考えなければ、著者の気遣いを無駄にしてしまいます。

お礼

>>えー。やさしいですかね。
> 易しいというのがヒントです。
a(n)=sin(nπ/2)
b(n)=cos(nπ/2)
と置いたら、
a(n)は1,0,-1,0,1,0,-1,0,…
b(n)は0,-1,0,1,0,-1,0,1,…
a(n)+b(n)は1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,…
という数列になるので
_lima(n)(=liminf{ak;k≧n})=-1
^limb(n)(=limsup{bk;k≧n})=1
^lim(a(n)+b(n))(=limsup{a_k+bk;k≧n})=1
^lima(n)(=liminf{ak;k≧n})=1
従って、

左辺=0,中辺=1,右辺=2
で真不等号
_lima(n)+^limb(n)<^lim(a(n)+b(n))<^lima(n)+^limb(n)
成立なのですね。

回答No.1

koko_u_

>等号成立となる例を挙げよという意味だと思います。
逆。等号が必ずしも成立しないことを例示せよ。という意味。

さ。あとは例を考えるだけです。易しいですね。

お礼

お手数お掛けします。

えー。やさしいですかね。
ちょっと思い付きませんが、、、