微分の問題

質問

微分の問題

テストが近くて困っています。分かる方助けてください。
証明の途中まででもかまいません。
解答を全て書いていただけると一番ありがたいですが・・・

・ロルの定理を用いて、x^5+3x+3=0は実数解を１つしか持たないことを示せ。
（1つあることは中間値の定理からわかる）

よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

自信ありませんが背理法を使うのかな・・・

f(x)=x^5+3x+3とおき、f(x)=0の１つはある解をaとする。

２つ（以上）実数解があると仮定、a以外の１つをbとすると、
f(a)=f(b)=0
よって、ロルの定理より、f'(x)=0となるxが(a,b)もしくは
(b,a)に１つ以上存在する。
しかしf'(x)=5x^4+3>0なので矛盾。
したがって、２つ（以上）の実数解は無し。
１つ解があることがわかっていることから、結局解は１つしかない…

お礼

大変参考になりました。
ありがとうございました。