4入力XORの論理式

質問

4入力XOR
Ａ【XOR】Ｂ【XOR】Ｃ【XOR】Ｄ
この式のカルノー図を描くと
０　１　０　１
１　０　１　０
０　１　０　１
１　０　１　０
というように０と１が並びます。
これを簡単化出来るのなら
なるべく簡単化して、XORを使わない
論理式を出したいのですがどうすればいいですか？
そのあと、７４シリーズのIC(OR、AND、NOT、NANDだけ)
をつかって実体回路図を描くので論理式は出来るだけ
簡単にお願いします。

回答No.1

inara · ベストアンサー

4入力XOR は、回路が劇的には簡単にはならないように思えます。
AND/OR/NAND/NOT回路で構成できる回路はいろいろ考えられますが一般的な2入力の論理ICを使うなら以下の構成でしょうか。

　　(1)　10個のAND、5個のOR、4個のNOT
　　(2)　8個のAND、6個のNOR、1個のNAND、4個のNOT
　　(3)　15個のNANDと4個のNOT

ABCDのうち0が1個か3個の場合（あるいは 1が1個か3個の場合）だけ A×B×C×D（×をXORの記号とします）が 1 になります。1のブロックが左上と右下に固まるように書いたカルノー図は下のようになります。

　　　　　　CD
　AB｜00 11 01 10
　―┼――――――
　01│ 1　 1　 0　 0
　10│ 1　 1　 0　 0
　00│ 0　 0　 1　 1
　11│ 0　 0　 1　 1

否定を小文字または NOT( ) で、論理積をA・B、論理和を A+B で表わせば、左上のブロックの論理式は
　　　a・B・c・d + a・B・C・D + A・b・c・d + A・b・C・D = a・B・( c・d + C・D ) + A・b・( c・d + C・D ) = ( a・B + A・b )・( c・d + C・D )
であり、右下のブロックの論理式は
　　　a・b・c・D + a・b・C・d + A・B・c・D + A・B・C・d = a・b・( c・D + C・d ) + A・B・( c・D + C・d ) = ( a・b + A・B )・( c・D + C・d )
です。したがって結果が 1 となるのはそれらの論理和で
　　　A×B×C×D = ( a・b + A・B )・( C・d + c・D ) + ( A・b + a・B )・( c・d + C・D ) --- (1)
　　　　　 　　　　　　= NOT[ NOT{ NOT( a・b + A・B ) + NOT( C・d + c・D ) } ・ NOT{ NOT{ NOT( A・b + a・B ) + NOT( c・d + C・D ) } ] --- (2)
となります。式(1)を使った場合は、10個のAND、5個のOR、4個のNOTを使えば論理回路が構成できます。式(2)の場合は8個のAND、6個のNOR、1個のNAND、4個のNOTを使えば回路が構成できます。

さらに
　　　a・b + A・B = NOT{ NOT( a・b )・NOT( A・B ) }
　　　C・d + c・D = NOT{ NOT( C・d ・NOT( c・D ) }
　　　A・b + a・B = NOT{ NOT( A・b )・NOT( a・B ) }
　　　c・d + C・D = NOT{ NOT( c・d ・NOT( C・D ) }
なので
　　　A×B×C×D = NOT【 NOT[ NOT{ NOT( a・b )・NOT( A・B ) }・NOT{ NOT( C・d ・NOT( c・D ) } ]・NOT[ NOT{ NOT( A・b )・NOT( a・B ) }・NOT{ NOT( NOT( c・d ・NOT( C・D ) } ] 】
と、15個の2入力NANDと4個のNOTを使っても回路を構成できます。この場合論理ICが2種類で済みます。以下にその回路を示します。回路が複雑なので２つに分けて描きました。

　　A ┬────────────── NAND ─── NAND ─ NAND ─ NAND ─
　　　 └ NOT ───────┐┌──┘　　　　　　 ┌┘　　┌─┘　　　　┌┘
　　B ┬──────────）┘┌── NAND ─┘　　　　│　　　　　　 │
　　　 └ NOT ──────┐└─┘　 ┌┘　　　　　　　　　　 │　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　 └────┘　　　　　　　　　　　　 │　　　　　　│
　　C ┬────────────── NAND ── NAND ┘　　　　　　│
　　　 └ NOT ─────┐　　　┌──┘　　　　　　┌┘　　　　　　　　　　　│
　　D ┬────────）── ）──- NAND -─┘　　　　　　　　　 　　　│
　　　 └ NOT ─────-）──┘ 　┌┘　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　└────┘　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 │
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　A ┬────────────── NAND ─── NAND ─ NAND ┘
　　　 └ NOT ──────┐　┌──┘　　　　　　┌┘　　　 　 ┌┘
　　B ┬─────────）─）─── NAND ─┘　　　　　 　│
　　　 └ NOT ────── ）─┘ ┌─┘　　　　　　　　　　　 　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　 └──┘　　　　　　　　　　　　　　 　　 │
　　C ┬────────────── NAND ─── NAND ┘
　　　 └ NOT ─────┐　　　┌──┘　　　　　　 ┌┘
　　D ┬────────）──┘┌─- NAND -─┘
　　　 └ NOT ─────-）───┘ ┌┘　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　└────┘

お礼

本当にありがとうございます
実体回路図無事にかけました。