整数の基本問題

質問

整数の基本問題です。

2つの整数ap,bpを考えます。（a,b,pは全て整数で、aとbは互いに素）
ap,bpは両方とも整数dで割り切れます。
この時pはdで割り切れることを証明したいのですが、
どうすればよいでしょうか。
記号では以下のように表すとします。

d|ap・・・(1)　d|bp・・・(2) (a,b)=1・・・(3)→ d|p

それではよろしくお願いします。

回答No.8

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

dを素因数分解します。d=J^j×K^k×L^l×・・・
(J, K, L, ・・・は素数、j, k, l, ・・・は正の整数)

(1)より、J^j を ap に振り分けると、
[1] a が素因数 J を1つでも持つ場合
[2] a が素因数 J を1つも持たない場合
に分けられる。

[1]aとbは互いに素であるから、aがJを1つでも素因数に持てばbはJを素因数に持たない。
すると、bpはdで割り切れるので、pが素因数Jをjコ持つ事になるが、aはJをjコ未満しか持たないので（少なくとも1つはaが持つから）、これは成り立たない。
従ってJ^jは全てpに含まれる。他の素因数についても同様であるから、pはdで割り切れる。（証明終わり）

イメージとしては、dの素因数Jが3コあったとして、
そのうち1つでもaにあげると、bは「要らないよ」っていう感じです。
・aが1コ取ったので、相手のpはJが2コとなり、
・bは1コも取っていないので、相手のpはJが3コということになります。
・すると同じ数であるはずのpに含まれる素因数Jの個数が違ってしまうので矛盾ということです。

お礼

なるほど、dを素数冪分解して
その素数一つ一つに対してpの因数になるか確かめればできますね。

どうもありがとうございます。
また何か他に別解なども思い付きましたらよろしくお願いします。

回答No.1

FEX2053

ふつーに考えればアタリマエですよね。

aとbがお互いに素ということは、aがnで割り切れた場合、
bはnでは割り切れないってことでしょ？　
だったらpはdで割り切れてあたりまえ。

後はこれを数学っぽく書けばオッケー。

補足

御回答ありがとうございます。

>bはnでは割り切れないってことでしょ？　
>だったらpはdで割り切れてあたりまえ。

bpにおいて
bpがdで割り切れ、bはdで割り切れないからといって
pがdで割り切れるとはいえないような気がするのですが・・・。