合成抵抗の計算方法

質問

以下、とある電磁気の教科書の巻末にあった問題です。考えても分からなかったので、ご解答お願いします。

問題：
数年前電気技術者の間で評判となったパズルの問題がある。無限個の1Ωの抵抗が正方形の網目を持った無限に広がった2次元の網目回路をなすように結合されている。すなわち各接点で4つの抵抗からのリード線が一緒になっている。1つの接点とそのまわりの4つの再隣接の接点のうちの1つとの間の等価抵抗はどれだけか？この問題は対称性と重ね合わせの効用を示す非常によい例である。重ねあわせを上手に用いることによってこの問題は頭の中でほとんど解くことができる。

ちなみに、答えは0.5Ωと書いてありました。導出は載っていませんでした。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>無限個の1Ωの抵抗が正方形の網目を持った無限に広がった2次元の網目回路をなすように結合されている。すなわち各接点で4つの抵抗からのリード線が一緒になっている。
>1つの接点とそのまわりの4つの再隣接の接点のうちの1つとの間の等価抵抗はどれだけか？

きいた覚えがあるので、記憶の片隅から復元してみましょう。

隣接する二接点 A, B 間に電圧E を印加する。
無限遠点の接点電位は、A, B に沿った向きとそれに垂直な向きでは E/2。
(強引に)ほかの向きでも同じとみなし、それを基準電位とする。

まず、基準電位に対し E/2 の電圧を A に印加したとき、A へ電流 J が流入したとする。
網目回路の対称性により、B へ流れこむのはその 1/4 、つまり J/4 。また、A,B にある 1 オームの両端電圧は J/4 。
逆に、基準電位に対し -E/2 の電圧を B に印加したとき、B から流出する電流 J のうちの 1/4 がA から流れこみ、A,B にある 1 オームの両端電圧は、やはり J/4 。

この二つの電圧・電流分布を重畳すれば、A, B 間に電圧E を印加したときの分布が得られる。
A へ流れこむ電流は J 、A, B 間の電圧は E =2*J/4 。
この関係から、A,B 間の等価抵抗 Req = E/J = 2/4 = 1/2 。

こんな具合だったと思います。

補足

ありがとうございます！そんな方法、まったく思いつきませんでした（笑

あまりにエレガントすぎて、納得するまでに時間がかかりました。

いくつか生じた疑問は自己解決したのですが、1つだけ確認させてください。
ご解答頂いた議論では、「無限遠点がどこも等電位とみなせる」という条件が必要ですよね。
感覚的には、A,B回りの周に沿った電圧降下は、外側ほど小さくなることは（上半円に沿った電圧降下を考察することで）納得できますが・・・

そこに関する議論が、
＞無限遠点の接点電位は、A, B に沿った向きとそれに垂直な向きでは E/2。
＞(強引に)ほかの向きでも同じとみなし
に相当するのかと思いましたが、この部分で仰った意味がよく分かりませんでした。

回答No.8

foobar

十分遠方の電位
ちょっと概算してみました。
給電点ABがX軸上にあるA:(-d,0),B:(d,0)とします。
原点Oから十分離れた距離Rにある点Pを考えます。
十分広い範囲を考えているので、抵抗のグリッドを面抵抗で近似します。
(電流も電流密度で考えます）
A点から流れ出る電流密度は1/Rに比例、、B点に流れ込む電流も1/Rに比例。
電流の方向と、POの方向は大体dsin(θ)/Rほどの傾きがある（θはPOのX軸からの角度)
結果、円周方向の電流成分は概ねdsin(θ)/R^2に比例
円周の長さはRに比例なので、円周方向の電位の変動は1/Rに比例し、
Rが無限になるにつれて０に漸近する。

という具合になるかと思います。

お礼

その通りですね。私がサボってしまった見積もりをやっていただき、ありがとうございました。解決しました。

回答No.7

imoriimori

かなり昔ですが、その問題に私も頭を悩ませたことがありました。
皆様のご回答を良く読んでいませんが、たぶん正しい回答をしていらっしゃると思います。

で、この問題が載っている本をご紹介しておきます。
楽しめる物理問題２００選　近藤他訳　朝倉書店　\4900
の第１５９問。解説も載っています。
この種の問題で頭の体操をするには良い本です。

お礼

ありがとうございます。さっそく借りて読んでみます。

回答No.6

noname#101087

#2 ですが、少々蛇足を。

思考実験はあくまでバーチャル・リアリティです。
その過程に観測不能な接続などが現れますが、集計したあと相殺されて結果の正当化を妨げないようになっているようです。

たとえば、2 モードの重畳による方法(Aにアクセスするモードと、Bにアクセスするモード)では、アクセス点(A あるいは B)に流し
た電流 J の帰路として仮想接地点G などを想定せざるを得ません。
そんなものは現存しませんよね。
でも重畳したあとは2 モードで相殺しあうので、幾何学の補助線なみに、推論結果が正しければ問題視されないのでしょう。

回答No.5

foobar

補足（の２）
AB間の電位差はRI/2になってます。
ということは、Aから出てBに至る任意の経路に関して、
Σ電流＊Rを計算すると、RI/2になっているはずです。
（定性的かつ大雑把には、AからBに流れる電流は、ABの割と近くを流れていて、わざわざ遠回り（＝経路の抵抗が大きい）をして流れる成分は極わずかしかない、ということになるかと思います。）

無限遠の電位
重ねあわせが成立しているので、
A点から給電し、電流Iを流し込んだときに電位が０
B点から給電し、電流-Iを流し込んだときに電位が０
なら、
AB間に電源を繋いだときも、電位は０
です。
（＃４で触れたように、電流源で説明するときには、無限遠の電位を気にする必要はないのですが）

回答No.4

foobar

無限遠点の電位
大雑把には、
十分遠方を考えると、電流は給電点から放射状に拡散しながら流れています。
で、十分遠方で、給電点を中心にして、円を描くと、電流と経路は（ほぼ）直行しているので、電位勾配は生じない、というようなことになるかと思います。
（厳密には、＃３のA点とB点に若干の距離があるので、円周方向の電流成分が残り、オーダーの比較をする（円周長がRに比例なので、電流の円周方向成分がRの－1乗より強く減衰していれば、電位はRの増加に対して減少するので、極限をとると0になる）必要がありますが。）

ちなみに、＃３で紹介した電流源を使った説明では、無限遠の電位を直接は使ってない（一点から給電したとき、電流が放射状に対称に広がることだけを使っています）ので、電位の問題から逃げることができます。（無限遠点の電位はある条件（９０度単位の対称性がある）を満足していれば、電位が０（あるいは一定）でなくてもOK）

お礼

あ、ごめんなさい。僕が補足に書いた点は、括弧内で断っているのですね。
そうです、その点が気になっていました。

補足

ご指摘の内容は、A点と無限遠点（←A点から等距離にある点の集まり、と言う意味）との間に電圧をかけた場合ですよね。

そうではなく、A点とB点の間に電圧をかけたとき、十分遠方で弧に沿った電圧降下が生じない、という条件がないと、「A点と無限遠点」「B点と無限遠点」と言った場合の2つの無限遠点が別のものになってしまう、ということです。
具体的には、A点から見て放射状であっても、それがB点から見てどうなるのか・・・

回答No.3

foobar

若干コメント
電磁気(物理)では、通常「無限遠では電位(や他の物理量）は0」という前提を置いています。

また、ご質問の問題を考えるときには、電圧源でなく電流源で説明する例が多いようです。
A点から電流Iを流し込む（B点から流し込む電流は0）。そのとき、A点からは4方にI/4ずつ電流が流れる。
次に、B点から電流を-I流し込む(A点から流し込む電流は0）。このとき、B点から4方に-I/4ずつ電流が流れる。
A,B同時に電流を流したとき、AB間の抵抗に流れる電流はI/2、電圧降下はRI/2、よってAB間の抵抗はR/2
という具合に。

補足

仰るとおり、点電荷が作る電位などでは、問題なく無限遠点をゼロとできます。
しかし、今回の状況では、Aを出発して遠くに行ってBに戻ってくる扇形の経路を考えた場合の、電圧降下がどこで生じているか考えてみます。扇形の弧に相当する長さが、遠くに行くほど長くなるので、長い弧の部分での電圧降下の総和がゼロに収束しない可能性もある、ということが気になったわけです。（遠くに行く時に分岐によって電流が少なくなっていくことを考慮しても、それを積算するので…。）
つまり、（AをBより高電圧にしたとき）Aの左無限遠方の電位と、Bの右無限遠方の電位を較べると、前者のほうが高い可能性もある、ということです。

回答No.2

noname#101087

>解答頂いた議論では、「無限遠点がどこも等電位とみなせる」という条件が必要ですよね。
>感覚的には、A,B回りの周に沿った電圧降下は、外側ほど小さくなることは（上半円に沿った電圧降下を考察することで）納得できますが・・・
>そこに関する議論が、
>＞無限遠点の接点電位は、A, B に沿った向きとそれに垂直な向きでは E/2。
>＞(強引に)ほかの向きでも同じとみなし
>に相当するのかと思いましたが、この部分で仰った意味がよく分かりませんでした。

当方が考え出した思考実験ではなく、よそ様から聞かされたものでした。
(有限個数で回路式を立てて無限個への極限を求めるのが本筋でしょうが、現実的な必要性もなく放棄したままです)

A, B 間に電圧E を印加したとき、A から B とは逆の向きに無限遠点に向かい、無限遠点を通過(?)して B へ戻ってくる経路を
イメージしてます。その無限経路の両端 A,B の電圧は E 、無限経路の中点である無限遠点の電位は E/2 だろう、というつもりでした。

そもそも、記憶ミスがあるかも知れません。
無限遠点の接点電位を表面化させない話法だったかも知れません。ウロ覚えなもんで.... 。

電位零の仮想接地点G を想定し、G-A 間に +E/2 を印加したケースと、G-B 間に -E/2 印加したケースについての電圧・電流分布
を重畳するものだったかも。「無限遠点は電位零」とすれば、同じ答えになりそうです。

補足

＞無限遠点の接点電位を表面化させない話法だったかも知れません
「空間対称性から、1つの辺に流れる電流がJ/4」という議論を行うためには、無限遠あるいはそれに準ずる考察を行うことが不可欠だと思いますが・・・。

私が気になった点について、もう少し考えて見ます。
十分遠方での弧に沿った電圧降下の総和は、距離に関して単調減少ということは言えるので、あとは収束先がゼロじゃないとすると矛盾・・・といった方向性で考えて見ます。