正規分布の和

質問

正規分布の和が正規分布になるのは、独立のときのみなのはなぜですか？
あと、正規分布の和が正規分布にならない簡単な例とかも教えてくだされば幸いです。

回答No.2

Ishiwara

ｘもｙも、実数が入っている袋で、中身は正規分布をしています。両方からそれぞれ「ランダムに」１個ずつ取り出してｘ＋ｙを計算すると、当然正規分布をします。
独立でない（拘束関係にある）ということは「ランダムに取ってはいけない」ということです。
例えば、ｘはランダムに取ってよいが、ｙを取るときはｙの袋の中を覗いて（ｅのｘ乗）を取り出すことが義務付けられます。
そうすれば、ｘ＋ｙ＝ｘ＋（ｅのｘ乗）は正規分布になりません。

回答No.1

rabbit_cat

＞正規分布の和が正規分布になるのは、独立のときのみなのはなぜですか？
独立でない場合にも、正規分布に従う確率変数の和は、正規分布になるような気がします。。（違うかもしれない）
もっとも、極端な例として、Y=-Xとすると、Z=X+Y=0になりますが、まあ、これも分散０の正規分布と考えることもできるか。

当然ながら、独立でなければ、「和の分散が、分散の和になる」は成り立ちませんけど。

X,Yの同時確率密度 f(x,y) を考えて、
g1(x) = ∫f(x,y)dy
g2(y) = ∫f(x,y)dx
がともに、正規分布になるとしたときに、
Z=X+Yの確率密度は、z=x+y, w=x-yと変数変換して、
g3(z) = ∫f(z,w)dw
が正規分布になるか、を調べればよいってことなんだとは思いますが。