楕円を凹凸にしたような図形を表す関数はありますか

質問

一筆書きで描ける図形で線が交差しない一番簡単なものは円だと思いますが多角形の凹凸を滑らかにしたような図形を楕円の方程式を適当に変えることによって表現する方法は極座標によるもの以外には存在しないのでしょうか。

回答No.1

funoe · ベストアンサー

無理やりですけど、

（ｘ　＋　0.1*sin(10*ｘ)　）＾２　＋　ｙ＾２　＝　100

なんてどうでしょう？でこぼこしたワッカになりますよね。

お礼

早速御教示ありがとうございます。周期関数を利用する以外には凹凸は表現できないのでしょうね。

回答No.4

kkkk2222

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質問投稿日時：07/06/30 03:10
現在　　　　　　：07/07/01 17:10

随分、時間経過したように思っていましてが、４８時間までに至っておりませんでした。
僅か数行の中に（複雑な内容）が含まれていて、改めて自分の頭の中を整理しておりました。

（＃１）
＞＞・・・極座標によるもの以外には・・・

平面曲線は、F（X、Y）＝０　で表現出きるのは（むしろ）少ないのではないか、と思われます。

例　媒介変数表示の中では、X＝G（ｔ）、Y＝H（ｔ）　
サイクロイドは、ｔを消去出来ないので、F（X、Y）＝０　となれない。

例　極形式の中では、
ｒ＝ｆ（θ）
X＝ｒcosθ,Y＝rsinθ　で変換して、ｒ　θ　が消去されるのは良く見かけますが、やはり（少数）と思います。
アルキメデスの螺旋は、両者を消去出来ないようです。

＜極形式＞と＜媒介変数表示＞の関係は、
＜極形式＞は＜媒介変数表示＞に含まれると思うのですが。
＜極形式＞は＜媒介変数が２個、ｒとθ、さらに　ｒとθは独立ではない。＞
此の結論を出すのに（かなり）迷いました。

（＃２）
＞＞楕円を凹凸にしたような図形・・・。
＞＞一筆書きで描ける図形で線が交差しない。
＞＞凹凸を滑らかにしたような図形。
＞＞楕円の方程式を適当に変える。
＞＞極座標によるもの以外には存在・・・。

＊凹凸が少なくとも、ひとつある。
＊単純閉曲線。（ジョルダン曲線定理）
＊尖点（CUSP）を持たない。
＊楕円と（何らかの）関係がある。・・・此れは困難？
＊F（X、Y）＝０。
全てを満たす曲線は記憶になかったのですが、偶然、見つけました。
＜カッシニの卵形＞と称されるようです。
＜赤血球の断面の様な＞形でした。
もっと、沢山の凹凸を持つ曲線は存在すると思いますが、それなりの専門書が必要と思われます。

（＃３）
＜カッシニの卵形＞
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/Curves/Curves.htm
左の＜カッシニの卵形＞を選択。
　　右の図は＜楕円＞に似ていますが、
　　＜楕円＞は＜和が一定＞。＜カッシニの卵形＞は＜積が一定＞。
右を（少し）スクロール。
円形の図の、左上　get parameter　をクリック（２回以上）。
step point は　中央の　０．５　が良さそうです（？）。
parameter　ｂ　の　＋を　数回　クリックすると現れます。
parameter　ａ　の変更でも、現れます。
以上ご参考まで。
尚　Javaアプレットは、INSTされていると思いますので。

お礼

私には程度が高すぎるご教示で正に猫に小判の形容がぴったりですが、できるかぎり勉強させていただきます。ご丁寧に教えていただいてありがとうございました。

回答No.3

funoe

ごめんなさい。あなたの疑問が良く理解できるほどには私も詳しくないようです。

閉曲線と周期の関係など思いもできません。
お役に立てなくて申し訳ないです。

ところで、Ｎ→∞のときの、Ｘ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＝１　って、
ｎの奇偶で、振る舞いが違いますよね。
一言で「正方形」っていうのも、ちと乱暴かと。

お礼

不注意なことば使いをお詫びいたします。

回答No.2

funoe

しつこくＮｏ１です。

設問が「まったく周期的で対称的なもの」ならご期待に添えませんが、
例えば、先の関数のｓｉｎの部分をテイラー展開（マクローリン展開）して、11次とか13次くらいまでの項を使えば、大体、同じようなグラフになりますよね。そうすれば、一応「多項式による関係式のグラフ」でデコボコのワッカが表現できるのでは？

また、Ｘ＾４＋Ｙ＾４＝１なんてのも、円でない滑らかな閉曲線になりますよね。

補足

更なる御教示ありがとうございます。閉曲線というものが何か周期と関係があるということなのでしょうか。Ｘ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＝１でｎ→∞が正方形になることの中にも周期が含まれているのでしょうか。