2進法の問題です

質問

中高一貫教育の数学の問題です。2進法の基本が良く分っていないので、まったく分りません。

分りやすく教えてください。よろしくお願いします。

（問題）
　　3つの非負整数を2の累乗を単位とする形

　　　a = a0 + a1×2 + a2×2＾2 +・・・・+ an×2＾ｎ　
　　　b = b0 + b1×2 + b2×2＾2 +・・・・+ bn×2＾ｎ　
　　　c = c0 + c1×2 + c2×2＾2 +・・・・+ cn×2＾ｎ

　と表す。ただし aj, bj, cj (j = 0,1,2・・・,n) は0または1である。このときa,b,c の2進法表示の各桁の和

　aj＋bj＋cj (j = 0,1,2,・・・、n) がすべて偶数であれば、3つの非負整数の組 {a,b,c} は安定であると　

　呼ぶことにする。

たとえば、3つの正整数 a = 11111(2), b = 11000(2), c = 111(2)の組は安定である。

　ただし、添字(2)は2進法表示であることを示す。

　　いま、3つの正整数の組 {a,b,c} が安定であるとする。aをそれより小さい任意の非負整数a´

　で置き換えた組 {a´,b,c} を作り、さらに、bまたはcを、それより小さい適当な非負整数b´または

　c´で置き換えた組 {a´,b´,c} または {a´,b,c´} を作ると、それが安定であるようにすることができる。

　このことを次のように証明する。次のア ～ コ　にあてはまる数または式等を解答せよ。

（証明）

　正整数　a = a0 + a1×2 + a2×2＾2 +・・・・+ an×2＾ｎ　　を　整数 a´（0≦a´＜a）

a´ = a0´ + a1´×2 + a´2×2＾2 +・・・・+ an´×2＾ｎ　（aj´は0または1、ｊ＝0,1,2,・・・ｎ）

　で置き換える。a,a´の2進法表示の各桁を比較し、ajとaj´が異なるものの中で最大の番号ｊを

mと表すと、　a＞a´より　am= ア 　 a´＝　イ　 かつ aj = aj´（　ウ ≦ j ≦　エ　）　

　である。 {a,b,c} は安定であったので　　（bm,cm）＝（1, オ ） または（ カ ）

　である。例えば、（bm,cm）＝（1, オ ）ならば

　　　　　　　b = b0 + b1×2 + b2×2＾2 +・・・+bm×2^m+・・・+ bn×2＾ｎ

　を、{a´,b´,c} が安定となるように

　　　　　　　b´ = b0´ + b1´×2 + b2´×2＾2 +・・・+bm´×2^m+・・・+ bn´×2＾ｎ

　で置き換える。ここに bj´＝ キ （m+1≦ｊ≦n）, bm´＝　ク

　　　　　　　　　　　　　　　bj´＝　ケ　（aj＝aj´のとき） （0≦ｊ≦m-1）
　　　　　　　　　　　　　　　bj´＝　コ　（aj≠aj´のとき）　　（0≦ｊ≦m-1）

　である。このとり方から 0≦b´＜b かつ　aj´+bj´+cj （j = 0,1,2・・・,n）はすべて偶数となり

　{a´,b´,c}は安定となる。

　　　　　　　　　　（bm,cm）＝（ カ ）のときも同様に、c´（0≦ｃ´＜ｃ）を適当にとることにより

　{a´,b,c´} を安定とすることができる。

　　　解答　　　ア　　　　　　　　　　　　　　イ
　　　　　　　　　ウ　　　　　　　　　　　　　　エ
　　　　　　　　　オ　　　　　　　　　　　　　　カ
　　　　　　　　　キ　　　　　　　　　　　　　　ク
　　　　　　　　　ケ　　　　　　　　　　　　　　コ

回答No.2

151A48

ajとa'jの異なる最大数がmなので
an, an-1, ・・・・・・am+1とa'n, a'n-1,・・・・・・a'm+1は一致しているのでaとa'の大小はamとa'mで決まる。a>a'だからam>a'm 。取れる値は０，１だけだから，am=1,a'm=0 （イの所はa'mの間違いでは？）
aj=a'j (m+1≦ｊ≦n)

am=1でa,b,c安定なので（am+bm+cmが偶数）bm+cmは奇数でないといけない。
よって(bm,cm)=(1,0)または(0,1)

(bm,cm)=(1,0)のとき
jがm+1以上ではa,a'の係数は同じだからb,b'も変える必要はなくb'j=bj
j=mではaで1が0になっているのでbでは1を0にしないといけないのでb'm=0
jが0からm-1ではaj=a'jのときはb'j=bjでよいが，aj≠a'jのときは0,1入れ換えないといけないので
b'j=1-bj (bj=0のときb'j=1,bj=1のときb'j=0ということ）です。

ア　1　イ　0　ウ m+1　エ n　オ 0　カ (0,1)　キ bj　ク 0　ケ bj　コ 1-bj

回答No.1

Tacosan

ニムの (ある意味の) 必勝法, だねぇ.