存在量化子、普遍量化子を用いて

質問

「この世には、片思いに終わる人がいる」
という分を、存在量化子・普遍量化子を用いて記号化したいです。ご協力下さい。

「この世には」は関係ないと思います。
「片思いに終わる人がいる」は「その人を愛し、その人からは愛されない」と変換できると思います。
なので、「∃x∀y（Ｌxy∩￢Ｌyx）」になると思います。
ですが1つ、「（片思いに）終わる」とゆう言い方が気になります。

宜しければ、正しい答えを教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.1

aster

二項変数関数のＬｘｙの意味するところが、「ｘはｙを愛した」という完了形だとすれば、時間における、完了事態も、これで表現できるのではないでしょうか。Ｌという関数を、どういう意味に定義するかによって、意味が違ってきます。

Ｌｘｙを、「ｘはｙを愛する」という形にすると、時間的観念は論理式には入っていないので、「終わる」という意味が感じられないのでしょう。

しかし、ｘもｙも、人間という集合の要素だという前提なら、人間は死ぬので、終わりがあり、「愛する」ことの可能な時間も限られているという暗黙の前提があることになります。

場合や出来事の起こる時間を表現する変数を導入すれば、一旦愛して、それから嫌いになるとか、最後まで愛することはなかったとか、時間関係の表現が可能になるのかも知れませんが、関数自体に、時間関係を入れるのが妥当でしょう。

ただ、

「∃x∀y（Ｌxy∩￢Ｌyx）」

これは、「あらゆ人を愛し、かつ、あらゆる人から愛されない、という人が一人は存在する」という意味ではないでしょうか。愛した、という完了にしても同じことが云えます。

∃x∃ｐ∀y（（Ｌｘｐ∩｛Ａ：Ａ∋ｐ）∩（ｙ∈Ａ）∩Ｌxy∩￢Ｌyx））

まったく自信がありませんが、こんな感じになりませんか。特定の集合をどうやって定義するのかよく分からないので、以上のように書いてみましたが、「ある人が愛した人の集合Ａ」が存在し、ｙは、あらゆるｙであるが、Ａの要素のｙであるという前提が必要だと思います。

ｘ，ｙの値域は、無前提に「すべての人間」ということになっています。そうでないと、値域として、すべての動物かも知れず、何でもよいとなると、ガラスのコップを愛した、なども可能となります。

ｙに束縛をかけないと、Ｌｘｙは「ｘはｙを愛する・愛した」で、ｙの束縛は、ｘが愛したｙですから、最初の式だと、すべての人を愛し、すべての人から愛されなかった人がいる、ということになると思います。

Ａ（ｘ）というような集合が定義できて、これは、ｘが愛した人の集合だとすると、

∃x∀y（（ｙ∈Ａ（ｘ））∩Ｌxy∩￢Ｌyx））

または、

∃x∀y（（ｙ∈Ａ（ｘ））∩￢Ｌｙｘ））

または、

∃x∀y（（ｙ∈Ａ（ｘ））∩￢（ｘ∈Ａ（ｙ）））

こういうのは、どうでしょうか。集合の定義を、どう論理式のなかに入れるとよいのか分かりません。

お礼

ご回答、有り難うございます。
Lを「愛した」と定義すれば「終えた」とゆうのは関係ない、とゆうことでしょうか。

教えて下さった下の方の式の形式は見たことがなかったので、
（論理学を勉強しはじめて、まだ数時間なんです…）
よく解りません。ごめんなさい。

ですが、定義によって色々と考えられるということが解って良かったです。
有り難うございました。