３つの文字の計算

質問

ｘ/(ｙ＋ｚ)＝ｙ/(ｚ＋ｘ)＝ｚ/(ｘ＋ｙ)
でｘ＝ｙ＝ｚを示すにはどうしたらよいでしょうか？
自分なりにやってみたところ、
ｘ/(ｙ＋ｚ)＝ｙ/(ｚ＋ｘ)＝ｚ/(ｘ＋ｙ)＝ｋとおく
つまり　ｘ/(ｙ＋ｚ)＝ｋ　　　　　
　　　　ｙ/(ｚ＋ｘ)＝ｋ　
　　　　ｚ/(ｘ＋ｙ)＝ｋ
式を変形して
　　　　ｘ＝ｋ(ｙ＋ｚ)　　　　
　　　　ｙ＝ｋ(ｚ＋ｘ)
　　　　ｚ＝ｋ(ｘ＋ｙ)
ここまでもあっているかよくわからないのですが、
ここから詰まってしまいました。

アドバイスよろしくお願いします

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

ｘ＝ｋ(ｙ＋ｚ)、ｙ＝ｋ(ｚ＋ｘ)、ｚ＝ｋ(ｘ＋ｙ)
を全部足してみる。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝２ｋ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
（２ｋ－１）（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝０
ｘ＋ｙ＋ｚ≠０ならば２ｋ－１＝０よりｋ＝１／２
これをもとに、上の三つの連立方程式からｘ＝ｙ＝ｚがでる。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝０となる場合があるか？
分母にｙ＋ｚ、ｚ＋ｘ、ｘ＋ｙがあるので、これらは０でない。
ｘ＝－（ｙ＋ｚ）、ｙ＝－（ｚ＋ｘ）、ｚ＝－（ｘ＋ｙ）
より、ｘ≠０、ｙ≠０、ｚ≠０で、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０となり得る。
この場合、ｘ＝ｋ（ｙ＋ｚ）＝ｋ（－ｘ）などからｋ＝－１となる。
そして、たとえば、ｘ＝１／２、ｙ＝１／３、ｚ＝－５／６とすれば、
ｘ、ｙ、ｚはすべて異なるが、
ｘ/(ｙ＋ｚ)＝ｙ/(ｚ＋ｘ)＝ｚ/(ｘ＋ｙ)＝－１となる。
ｘ、ｙ、ｚがすべて正などという条件があれば、ｘ＝ｙ＝ｚが成り立
つ。

お礼

迅速な回答ありがとうございます！！
わかることができました。

補足

問題文にｘ、ｙ、ｚはすべて正数であるという条件がかいてありました。
書き忘れていてすみませんでした。

回答No.1

koko_u_

行列
　　（１　－ｋ　－ｋ）
Ａ＝（－ｋ　１　－ｋ）
　　（－ｋ　－ｋ　１）

とすれば、A(x y z)^t = 0 (t は転置ね) です。

これは自明な解 x = y = z = 0 を持ちますが、これでは最初の式は不定になってしまい NG。

すなわち A は非自明な解を持ち、det(A) = 0

det(A) = -2k^3 -3k^2 + 1 だから、その解は 1/2 , -1

前者の場合は確かに c(1 1 1)^t が非自明な解となる。(c は定数) すなわち x = y = z

しかし、後者の場合には A(x y z)^t = 0 は x + y + z = 0 に縮退し、これを満たす x, y, z ならば何でも良い。

実際 x + y + z = 0 なら与式はすべて -1

お礼

迅速な回答ありがとうございます！！
わかることができました。