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合格の確立389分の1
先日テレビで、出題者は20種類の品物の写真をそれぞれ、中が見えない封筒の中に入れたものを準備する。回答者は、20種類の品物は何があるか解った上でそれぞれの封筒に何の写真が入っているか予知して、それぞれ封筒に名前を書いていく。そのとき中身と一致したのが、5つあれば回答者の勝利となる。テレビでは、その確立が389分の1と言っていました。計算式を教えてください。
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すべて一致しない確率・・(19/20)^20・・ア １つだけ一致する確率・・20C1*(1/20)*(19/20)^19・・イ ２つだけ一致する確率・・20C2*(1/20)^2*(19/20)^18・・ウ ３つだけ一致する確率・・20C3*(1/20)^3*(19/20)^17・・エ ４つだけ一致する確率・・20C4*(1/20)^4*(19/20)^16・・オ これらの和を１から引けば、回答者の勝利になるから １－(ア＋イ＋ウ＋エ＋オ) ※20C1=20、20C2=10*19、20C3=60*19、20C4=15*17*19を 考えて因数分解すると ＝１－(19/20)^17*(19^3+20*19^2+10*19^2+60*19+15*17)/20^3 ＝１－(19/20)^17*(19084/8000) ＝１－(0.95)^17*2.3855 計算機で ＝0.0025739403346522816041958236694336 ＝1/388.50939415232865655741789560582 となりましたので、こうしているのかな？
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- kkkk2222
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＞＞番組では２０枚の封筒すべて違う名前を記入していたと思います。 此れが気になっていました。 此の条件が入ると、次の様になります。 追加条件＜すべて違う名前を記入＞ 全場合の数、２０！＝２４３２９０２００８１７６６４００００（誤差あり） 完全順列・攪乱順列 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/probability/changeseating.htm Ｆ（１）＝０ Ｆ（２）＝１ Ｆ（ｎ＋２）＝（ｎ＋１）［Ｆ（ｎ＋１）＋Ｆ（ｎ）］ Ｆ（１６）＝７６９７０６４２５１７４５ Ｆ（１７）＝１３０８５００９２２７９６６４ Ｆ（１８）＝２３５５３０１６６１０３３９５０ Ｆ（１９）＝４４７５０７３１５５９６４５１００ Ｆ（２０）＝８９５０１４６３１１９２９０２０００ *エクセルは（有効桁数）が（１５桁）のため（誤差）が出ています。 ０個が合致する確率 Ｆ（２０）＊Ｃ（２０、０）／２０！＝0.3678794411714 １個が合致する確率 Ｆ（１９）＊Ｃ（２０、１）／２０！＝0.3678794411714 ２個が合致する確率 Ｆ（１８）＊Ｃ（２０、２）／２０！＝0.1839397205857 ３個が合致する確率 Ｆ（１７）＊Ｃ（２０、３）／２０！＝0.0613132401952 ４個が合致する確率 Ｆ（１６）＊Ｃ（２０、４）／２０！＝0.0153283100488 合計 0.9963401531725 １－0.9963401531725＝0.0036598468275 分数にすると、 １／0.0036598468275＝273.235478732614 約 １／２７３ と出ます。 ーーー ＊超能力者は＜みっともないので？＞＜すべて違う名前を記入＞。 ＊番組制作者は＜面倒なので＞＜389分の1＞と計算している。 ＞＞5つあれば回答者の勝利となる。 ＊（勝利）するためには、（４種類以下）の名前は書かない。 ＊＜389分の1＞の計算には、（４種類以下）の名前を書く場合も含まれており、少なくとも＜389分の1＞以上の確率と・・・・。 では、（戦略として）何種類の名前を書くのが良いのか？ 戦略は、＜すべて違う名前を記入＞、 その（答＊最大値）が １／２７３ と思うのですが・・・。 ーーー
お礼
うーん、自分には解りません。2名の方が１/２７３と計算されているので、これも正解?かも。いろいろ考えてくださってありがとうございました。
- Mr_Holland
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＃５です。 ＃６のbanakonaさんの回等について 私も同じように疑問に思ってエクセルで実験してみたのですが、すべて異なる絵を描くように(ダブりなしで）指定した結果が、＃３の計算に近いものになりましたので、理屈はしっかりとは飲み込めていないのですが、＃３さんの考えが正しいのではないかと思っています。 確かに、封筒のすべての並び方を考えると２０！になるはずですが、＃３さんの考え方だと２０＾２０になってしまうので（私の考え方がおかしいのかな？）、その辺りのことをどのように理解したらよいかと思っています。
お礼
超能力を信じない出題者と超能力者（回答者）の、戦いだったのですべて違う答えを書いていたのだと思います（番組では途中省略）。しかしエクセルってすごいですね。自分のパソコンにも、当然エクセルはありますが使いこなせません。度々の回答ありがとうございました。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
＃１です。 すみません。あわててエクセルの出力結果を正反対に並べてしまいました。正しくは・・・ ・全くあっていない確率 0.367879441171442 ・１つのみ合っている確率 0.367879441171442 ・２つのみ合っている確率 0.183939720585721 ・３つのみ合っている確率 0.0613132401952404 ・４つのみ合っている確率 0.0153283100488102 合計したら同じだからやはり約１／２７３になりますけど。 ＞すべて一致しない確率・・(19/20)^20・・ア これってどんな予知をしてもいい場合の確率ですよね。 「Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・、Ｓ，Ｔ」という写真が封筒に入っていたとすると、例えば、 「Ａ，Ａ，Ａ，・・・、Ａ，Ａ」と予知しても良いということになります。番組ではこんなルールでしたか？ 私の答案は、Ａ～Ｔを必ず１つずつ使う予知の場合です。 ６個以上の正解を放棄して例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，・・・，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ」と予想する人もいる、ということですかね・・・
お礼
番組では２０枚の封筒すべて違う名前を記入していたと思います。（途中省略されていたので、たぶんですが）超能力を信じない出題者が回答者（超能力者）に対しての問題だったので同じ答えは書かないと思います。結局、出題者の勝利で賞金の１００万ドルは、支払わなくてよかったです。度々ありがとうございました。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
エクセルで乱数を使った実験をしてみましたところ、＃３さん（debutさん）の計算に近い結果が得られました。（約3,000回の実験結果） 参考までに、お知らせします。 （実験結果) (debutさんの計算値) すべて一致しない確率 36.42% 35.85% １つだけ一致する確率 36.86% 37.74% ２つだけ一致する確率 18.02% 18.87% ３つだけ一致する確率 6.90% 5.96% ４つだけ一致する確率 1.29% 1.33%
- debut
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No3です。補足しておきます。 １つが中身と一致する確率は１/20 １つが中身と一致しない確率は19/20 中身と一致するものを20個からｎ個選ぶ場合の数は20Cn通り ということをふまえると、 例えば、３つが中身と一致する確率は １/20が３回、19/20が17回で、一致する３つを選ぶ場合の数 が20C3通りあるから20C3倍になる、という意味で 20C3*(1/20)^3*(19/20)^17 です。 あと、因数分解というのは、(19/20)^17がどれにも共通 しているから、それをくくりだしたというものです。 (19/20)^20＝(19/20)^17*(19/20)^3 20C1*(1/20)*(19/20)^19＝20*(1/20)*(19/20)^19 ＝(19/20)^17*20*19^2/20^3 20C2*(1/20)^2*(19/20)^18＝10*19*(1/20)^2*(19/20)^18 ＝(19/20)^17*10*19^2/20^3 20C3*(1/20)^3*(19/20)^17＝60*19*(1/20)^3*(19/20)^17 ＝(19/20)^17*60*19/20^3 20C4*(1/20)^4*(19/20)^16＝15*17*19*(1/20)^4*(19/20)^16 ＝(19/20)^17*15*17/20^3 です。
お礼
度々の詳しい説明ありがとうございました。ただ今、勉強中です。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
「回答者」は20枚の封筒、すべてに名前を書いていくのですか？ それとも「回答者」が選んだ5枚の封筒だけに、名前を書くのですか？
補足
20枚全てを予想してその内5枚正解で回答者の勝ちです。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
すみません。未完成回答です。 求めるのは、次の事象の余事象の確率 ・全くあっていない ・１つのみ合っている ・２つのみ合っている ・３つのみ合っている ・４つのみ合っている 例えばｎ個のみ合っている場合の数は、20個からｎ個を選び出す方法の数に、２０－ｎ個をバラバラに並べる方法の数を掛けたもの。 前者は普通の組み合わせだから 20 Ｃ ｎ 後者は完全順列数。ｎ個の完全順列数をＡｎで表すと、次の漸化式を満たす。 Ａｎ＝（n-1)（Ａn-1＋Ａn-2）、ただしＡ1＝０、Ａ2＝１ これを使ってエクセルで計算してみたら ・全くあっていない確率 0.0153283100488102 ・１つのみ合っている確率 0.0613132401952404 ・２つのみ合っている確率 0.183939720585721 ・３つのみ合っている確率 0.367879441171442 ・４つのみ合っている確率 0.367879441171442 となってこれの合計を出すと 0.996340153172656 余事象の確率は 0.00365984682734366 で、１／273.235478744286 という異なる値になってしまいました。 考え方はあっていると思いますが・・・
お礼
ありがとうございます。自分にはさっぱり求め方が、解りませんでしたので参考になりました。
お礼
おそらく完璧だと思います。解き方を質問しましたが自分には、式を見てもまだ理解できません（因数分解ってどうやるんだったかな？）でした。詳しい回答ありがとうございました。勉強します。