誰か解いてください

質問

半径ａの円板に面密度σで電荷が一様に分布している。円板の中心軸上のｈの距離の点での静電ポテンシャルと電場を求めよ。自分は答がＥ＝σ/2ε（１－h/√（h^2+a^2））、φ＝ｈEとなったんですが。あっていますか？よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ポテンシャルというのは，
基準点から今考えている点まで単位電荷を動かしてきたときの仕事です．

仮に，ikecchi さんが h = 2 [m] のところにいて
そこのポテンシャルを求めるとしましょう．
無限遠から h = 2 [m] まで単位電荷を動かしてくるわけです．
例えば，10 [m] のところでごくわずか δ だけ単位電荷を動かしたとしましょう．
仕事は？
もちろん，(電場)×δ です．
どこの電場？ ikecchi さんがいる h = 2 [m] のところの電場？
そうじゃないですよね．
今，単位電荷がいるのは 10 [m] のところです．
ですから，10 [m] のところの電場を使わないといけません．

z か h かは単に文字の問題で本質的ではありません．
ikecchi さんのやりかたでは，無限遠から ikecchi さんのいる h = 2 [m] まで，
ずっと同じ電場(h = 2 [m] のところの)だと思っていることになってしまいます．

z の方が座標変数としてなじみがあるなら，z でやりましょう．
場所 z のところで dz だけ単位電荷を動かします．
その場所での電場は E(z) です(もう一度強調しますが，その場所の電場！)．
ですから，仕事は E(z) dz です．
あとは，
(1)　　E(z) = (σ/2ε){z/√（z^2 + a^2)}
として(くどいようですが，場所 z での電場！)
(2)　　∫{from h to ∞} E(z) dz
からφが求められます．

積分で面積を求めるときの考え方と全く同じですね．
この様な考え方はあちらこちらでお目にかかるはずです．
必ずマスターしてください．

ばねの位置エネルギーが (1/2)kx^2 なども全く同じ思想で求められるのです．

お礼

大変親切な解説ありがとうございました。電場EはE(h)でしたね。すっかりわすれていました。かなり納得できました。また電磁気の問題で分からないときはよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund

電場 E は合っていますが，ポテンシャルの方は間違っています．

もともとは(電場)×(距離)がポテンシャルの変化分ですが，
今は電場が h によって変化しますから積分しないといけません．
長方形の面積だったら，(高さ)×(幅) でよかったものが，
高さが一定でない曲線の下の面積だったら積分になるのと全く同じ理屈です．

通常(断りがなくて，可能な場合)は，ポテンシャルの原点は無限遠に取ります．
したがって，ポテンシャルの定義から
(1)　　φ = ∫{from h to ∞} E dh
　　　　　= (σ/2ε){√(h^2 + a^2) - h}
です．
もちろん，
(2)　　E = - dφ/dh
になっています．

付録ですが，E の式で h→0 とすると無限に広い平面上の電荷の作る電場に一致し，
h→∞ とすると点電荷の式に一致するあたりも重要なところです．

補足

回答ありがとうございました。自分は点ｈがｚ軸上にあると考えて積分をｄｈではなくｄｚとして解いたので質問文のようにφがもとまってしまいました。いまいちｄｈと考えるやりかたがわかりません。確かに点電荷による電場を考えるときは半径ｒ方向が電場の向きなのでE_ｒ　ｄｒで積分をしましたが。