線形代数、はき出し法

質問

次の連立１次方程式が、
(1)ただ１つの解を持つ、(2)無数の解を持つ、(3)解を持たない
ようにcの値をそれぞれ求める。

x+y-z=1
2x+3y+cz=3
x+cy+3z=2

という問題なんですが、はき出し法で、
(1,1,-1:1)…(1)
(2,3,c:3)…(2)
(1,c,3:2)…(3)
↓(2)-(1)*2,(3)-(1)
(1,1,-1:1)
(0,1,c+2:1)
(0,c-1,4:1)
↓(3)-(2)*(c-1)
(1,1,-1:1)
(0,1,c+2:1)
(0,0,-(c^2)-c+6:-c+2)
↓(3)*(-1)
(1,1,-1:1)
(0,1,c+2:1)
(0,0,c^2+c-6:c-2)

ここから先が分かりません。
ここまで合ってるかも不安ですが、まだ計算が必要ですか？

回答No.5

info22

＞解答としては、
＞(1)c=1,c=-2,c≠-2
間違いです。
正解は「c≠2かつc≠-3」
＞(2)c=2
正解です。
＞(3)c=-3
正解です。
＞という答えになるんですか？

ベン（Venn）図を描いて整理すると場合を整理する際の間違いを避けられます（ただし、cは同時に別の値をとることはありませんので注意してください）。

回答No.4

koko_u_

>(1)が解らないです。

連立方程式の解のパターンとしては
『(1)ただ１つの解を持つ、(2)無数の解を持つ、(3)解を持たない』

で網羅されていますね。(2) ⇔ c = ... (3) ⇔ c = ....

と(2)、(3) の場合の c が「漏れなく」求まれば、それ以外が (1)

お礼

回答ありがとうございます。

「漏れなく」求まるという意味が分からないんですが。

(2)(3)以外が(1)というのは
例えば(2)がc=2だとしたら、
(1)はc≠2
になるという事ですか？

回答No.3

info22

＞(1)ただ１つの解を持つ、
「ただ1組の解をもつ」ですね。

途中から
↓c=1の時
(1,0,-4:0)
(0,1,3:1)
(0,0,4:1)
↓(1)+(3),(2)-(3)*(3/4)
(1,0,0:1)
(0,1,0:1/4)
(0,0,4:1)
((1)１組の解をもつ)

↓c≠1の時
↓(3)-(2)*(c-1)
(1,0,-c-3:0)
(0,1,c+2:1)
(0,0,-(c^2)-c+6:-c+2)
↓(3)*(-1)
(1,0,-c-3:0)
(0,1,c+2:1)
(0,0,(c-2)(c+3):c-2)
↓(1)-(2)
(1,0,-c-3:0)
(0,1,c+2:1)
(0,0,(c-2)(c+3):c-2)

3行目により解の判別をします。

c=2の時
すべての要素がゼロになります。
つまり連立方程式で独立な式が2式しかなく
x-5z=0
y+4z=1
だけでこれを満たす解は無数((2)のケース)です。

c=-3の時
3行目
(0,0,0:-5)
で式が矛盾しています。
3行2列を消去する前に戻ると
(1,0,-6:0)
(0,1,-1:1)
(0,-4,4:1)
と2行目と3行目を同時に満たすy,zが存在しません
((3)のケース)。

c≠2,-3の時
↓(3)/{(c+3)(c-2)}
(1,0,-c-3:0)
(0,1,c+2:1)
(0,0,1:1/(c+3))

↓c=-2の時
(1,0,-5:0)
(0,1,0:1)
(0,0,1:1)
↓(1)+(3)*5
(1,0,0:5)
(0,1,0:1)
(0,0,1:1)
(1)のただ1組の解を持つです。

↓c≠-2の時
↓(2)-(3)*(c+2),(1)+(3)*(c+3)
(1,0,0:1)
(0,1,0:1/(c+3))
(0,0,1:1/(c+3))
(1)のただ1組の解を持つです。

お礼

回答ありがとうございます。

解答としては、
(1)c=1,c=-2,c≠-2
(2)c=2
(3)c=-3
という答えになるんですか？

回答No.2

whitedingo

（１）は係数行列の逆行列が存在すれば、ｘ、ｙ、ｚは一意に求まりますね。
逆行列の存在条件。

（２，３）は（１）以外ですね。
その条件で・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

（２，３）は（１）以外？
(1)の答えはどの様に求めればいいのでしょうか？
(1,0,0:x)
(0,1,0:x)
(0,0,1:x)
になるようなcの値を出すとかですか？

回答No.1

koko_u_

掃き出し法の計算があっているとして。。。

>まだ計算が必要ですか？
あとは c^2 + c - 6 がどのような値であれば

『(1)ただ１つの解を持つ、(2)無数の解を持つ、(3)解を持たない』

のかを考えるだけ。

お礼

回答ありがとうございます。

計算は上記ので十分なんですか。
(2)がc=2
(3)がc=-3
ですか？
(1)が解らないです。