平均を平均するには？

質問

平均を平均することについて。

例えば、下記の例があったとします。そこで質問が２つあります。

人数　費用　　1人あたり費用（平均）
３　　３００　　１００
２　　２００　　１００

質問１
（100+100）÷２　という計算方法は間違いなのか？もしくは
こういう方法もありうるのか？
質問２
1人あたり費用（平均）の平均は（100＊3＋100＊2）÷（3+2）
であるかと思うのですが、これは加重平均というやつですか？

レベルの低い質問で恐縮ですが、大変困っています。
よろしくお願いします。

回答No.6

gootaroh

ある業界の財務統計を作成する仕事をしている者ですが、その観点からだとこういう感じになります。

Ａ社　売上高1,000千円、利益10千円、利益率1.0％
Ｂ社　売上高1,500千円、利益12千円、利益率0.8％

業界全体の利益率を出す場合、(1.0+0.8)/2=0.9％とします。
これは単純平均のことです。
なぜそうするかというと、企業により規模が違うからです。
なので、１社１社個別に率を算出することで、企業規模にかかわらない傾向をつかむことができます。

これを加重平均で計算すると、
利益の合計22/売上高の合計2,500*100=0.88％となり、数値が異なります。

加重平均で財務統計を出すのは、業界全体の成長性を見る場合です。
つまり、業界全体が前期より増加（上昇）したか減少（下降）したかを見る場合です。

Ａ社売上高　当期10,000千円、前期9,000千円（増減率11.1％）
Ｂ社売上高　当期 1,500千円、前期1,000千円（増減率50.0％）

この場合、単純平均を取ると(11.1+50.0)/2=30.55％の増加率となってしまいますが、先述のように、企業規模の違い（重み付け）が考慮されませんので、Ａ社は1,000千円増加したのに10％ちょっと、Ｂ社は500千円しか増えていないのに50％もアップしたことになります。

業界全体ではどうなのか、という視点に立てば、10,000千円から11,500千円へ1,500千円増加したわけですから、業界全体の（市場規模の）成長性という意味では、11,500/10,000*100-100=15％の増加という具合に、加重平均で考えます。

ご質問の場合は、質問1が単純平均、質問2が加重平均に相当します。ただ、質問2の場合、重み付けがたまたま等しいので、単純平均と同じ結果になります。

何を知りたいのか、によりますが、例えば、
企業名　人数　費用　　1人当たり費用　
Ａ社　3人　300円　100円
Ｂ社　2人　400円　200円
（Ｂ社の費用を、ご質問の200から、分かりやすく400に変えました）

だとして、企業規模を考慮せずに（重み付けせずに）、各社が1人当たりどれだけ費用負担をしているかを調べるのであれば、(100+200)/2=150円という具合に、単純平均で考えればよいでしょう。

一方、業界全体で1人当たりどれだけ費用負担をしているかを調べるのであれば、(300+400)/(3+2)=140円という具合に、加重平均で考えることになります。

お礼

完全に理解できました。
私も仕事上、社会統計を扱い始めた状況でして・・。
目的に応じて、使いわけるのですね。
ありがとうございます。

回答No.5

Quattro99

> 平均の平均を出したい場合は「加重平均」という理解でよろしいのでしょうか？
それは、「平均の平均」が何を意味しているかによって違ってしまうので、数学的には誤りというか言葉がおかしいということになると思います（「平均の平均」という言葉からは単純平均を連想します）。

下記に賃金の単純平均と加重平均についての解説がありますが、私にはこの場合の単純平均にどういう意味があるのかわかりません。
数学の問題で全体の平均を出せと言われたら、そこで言う加重平均を求めろと言うことだと思います（特に加重平均だという指定はされることなくその意味になる）。
単純平均なのか加重平均なのかを問題にするのは実務的な問題になって、数学とはカテゴリーが違うように思います。

参考URL：

http://www.e-sanro.net/sri/special/glossary/chingin.html

お礼

再び答えて頂いて、ありがとうございました。
よく理解できました。リンク先の資料も参考
になって、ノートに貼りました。

回答No.4

kkkk2222

質問１の計算方法は＜正しいとも、間違い＞とも言えます。
理由は、偶然

３人　　３００円　　１００円／人
２人　　２００円　　１００円／人

　上の平均と下の平均が一致しているので、
本来の加重平均
（（１００円＊３人）＋（１００円＊２人））÷（３人＋２人）＝１００円と、
　本来は不可のはずの、
＞＞（100+100）÷２
　（上の平均＋下の平均）÷２＝１００円　が、一致してしまい、
＜考え方は間違いだが、結果は正しい＞と。
ーーー

　別例で書きます。
３人　　１２００円　　平均　４００円／人
２人　　　２００円　　平均　１００円／人

　正しい加重平均は
（１２００円＋２００円）÷５人＝２８０円／人
　平均の平均は
（（４００円／人）＋（１００円／人））÷２＝２５０円／人
　となり、誤りがハッキリします。

ーーー
質問２
そのとおりです。加重平均・重み付き平均と呼ばれます。
ただ、前述とおり例としては・・・

お礼

回答ありがとうございました。
だいぶ理解が深まりました。

回答No.3

komimasaH

例のつくり方で誤解が出るのでは。
この例では平均というよりも全ての人が
１００円使ったということですから
質問１の方法でも解答があってしまうのです。
例を変えてみます。
人数　費用　　1人あたり費用（平均）
３　　６００　　２００　　（それぞれ１００，２００，３００使う）
２　　６００　　３００　　（それぞれ２００、４００使う）
質問１の方法では
　（２００＋３００）/２＝２５０
質問２の方法では
　（２００＊３＋３００＊２）/５＝２４０
平均の定義から計算すると
　（（１００＋２００＋３００）＋（２００＋４００））/５＝２４０
質問２の答えが正しいことが分かります。
なぜか？
　　（１００＋２００＋３００）/３が人数３の場合の平均です。
　　これに３をかけるということは（１００＋２００＋３００）
　　という元の数字を出すことに相当しています。
　　（２００＋４００）/２は２人の場合の平均です。
　　これに２をかけるということは（２００＋３００）という
　　元の数字を出すことに相当しています。
従って質問２の方法が正しいということになります。　
質問１の方法では元の数字も出ないし、５という数字も
でてきませんのでまったく関係ない式になります。

お礼

大変わかりやすく説明していただいて、
ありがとうございました。

回答No.2

Quattro99

極端な例を考えればわかると思います。
2人の平均が100、100万人の平均が0だったとき、100万2人の平均は(100+0)÷2で求まる50よりも、ずっと0に近いだろうということがわかると思います。

ご質問の例でたまたま計算結果が同じになるのは平均が同じだからです。平均が同じだと、
(100*3+100*2)÷(3+2)
の分子の部分で分配法則が成り立ち100*(3+2)÷(3+2)となり、総数である(3+2)は必ず約分することが出来ます。
一方、(100+100)÷2は同じ数の平均ですから当然元の数と同じになります。
従って、両者の計算結果は同じになります。
要するに、平均が同じなら、全体の平均は計算するまでもなくそれぞれの平均と同じということです。

また、小集団のそれぞれの人数が同じなら、それぞれの平均が違っても、平均を単純に平均する計算で全体の平均が求まります。
a人の平均が100、別のa人の平均が200だったとすると、全体の平均を求める式は、
(100*a+200*a)÷(a+a)ですが、両方とも人数がaですから、分子は必ず分配法則が成り立ち、(100+200)*a÷2aとなって、aは必ず約分できて、
(100+200)÷2となり、ご質問にある最初の計算方法と同じになります。また、分母に出てくる「2」は小集団の数ですから、小集団がいくつあろうと、それぞれの人数が同じなら、単純に平均を平均することで全体の平均が求まります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
だいたい理解できました。

平均の平均を出したい場合は「加重平均」という
理解でよろしいのでしょうか？

回答No.1

v_mullova

御理解の通りです。

（100+100）÷２　という計算方法では五人の平均は求まりません。