微分や積分は何に利用できるの？

質問

微分や積分はどんなときに役に立つんですか？もし、微分や積分がなかったら今の私達の暮らしが成り立たないっていうことがあったらぜひ例を上げて教えて下さい。おねがいします。

回答No.15

First_Noel

具体例と言うことで，ほんの一例ですが．．．

ロケットは複雑な機械で，風やその他，自然界に存在するいろんな要因に
よる外乱があっても，きちんと決められた通り飛ぶように，訳分からない
ほどの数の部品が付いています．でもロケットの原理は，ロケット方程式
（またはツォルコフスキーの式）で記述されるように，飛びます．

微積分は，
「ある時間からある時間までの間の変化」
「あるところからあるところまでの間の変化」
プラス
「いついつ，どこどこではこんなだった」
と言う２つの情報から，全体を把握しようとするものです．

ロケット方程式で言えば，ある一瞬のロケットの噴射状況を観察して，
例えば噴射前（燃料を入れたときの重さとか）の情報と組み合わせること
で，どのくらいの人工衛星をどの軌道にのせるか？と言うことを導けます．
（この辺，語弊ある言い方ですが，情報量多くなりますので割愛です．）

数学とは，主観を交えず，事実だけを元にして，無味乾燥に淡々と計算
するが故に，証明されておれば「安心して」使用することが出来ます．
その証明には，長い時間と沢山の人々（これらの人々は全員が常に他人と
違う発見をしようとしている）によって検証される必要がありますが，
いま物理や数学として学校で習ったりするものは，これらの検証を経た
結果です．（それでも逆転することがないわけではないですが，稀です．）
だからロケットの設計をするときも，これを信じることが出来るんです．

一例として，もし微積分を人間が気付き，発展させていなければ，
人工衛星を利用したサービスは全て実現していなかったことでしょう．

PS.私は工学の分野の人間ですが，そこでは「ある程度」のどんぶり勘定を
します．例えば設計の計算で，この部品は長さ１０．２５３３２ｃｍ必要だ
と求まっても，コスト等が問題でなければ，安全側に長くして，図面には
「長さ１０．３ｃｍ」とか「長さ１１ｃｍ」とか書いたりします．

お礼

とてもよくわかりました。ありがとうございます、勉強になります

回答No.14

puni2

ずばり，天気予報。
と書くと，また「実際は経験的に明日の天気なんて分かると思うんですが」などと補足が入りそうでこわいのですが，ちょっと説明を試みてみましょう。

現在の天気予報は，大まかに言うと，次のような流れで出されています。
世界中の気象観測データが気象庁のスーパーコンピュータに時々刻々入ってくる。
コンピュータはそれをもとに，膨大な量の計算を行ない，その結果を，数十種類に及ぶさまざまな天気図として出力する。
その図面を参考に，最終的には予報官が判断を加えて予報を作成する。（短時間の降水量の予報など，コンピュータの出力そのままということもある）

この計算の段階で，微分や積分が使われます。
また，出力される天気図も，新聞やテレビなどで見慣れているような，どこの気圧が高いか低いか，などという単純なものだけでなく，ある量（たとえば風速）を微分した量の分布図，なんてのもありますので，天気図を読む側も微分・積分が分かっていないといけません。
したがって，気象予報士の試験でも，偏微分方程式（変数が複数ある関数の微分と思ってください）をはじめとして，微分・積分の式がたくさん出てきます。
たまたま，この文章を書いているパソコンの隣に「気象がわかる数と式」という本がありますが，微分・積分だらけです。

もちろん，昔ながらの方法で，空を見あげるだけでもある程度の予測はできます（観天望気という）。
しかし，もっと精度をあげようと思うと，目で見ただけでは分からない上空の気温や風速や湿度などのデータ（それも自分のいるところの真上だけでなく，日本のまわりの国や海の上なども含めて世界中のデータ）が必要になります。
そして，それらのデータを活用して予報を出そうと思ったら，微分・積分は欠かせない，というわけです。

ここまで説明しても，やはりピンとこない，といわれてしまうかもしれません。
気象学の初歩を勉強していただくと，なるほどと納得されると思うのですが，とりあえず，気象予報士の方の書かれた本などをお読みになるのもよいかと思います。
『石原良純のこんなに楽しい気象予報士』という本（小学館文庫）に，大自然の現象と数式がこんなふうにつながっているのか，という話があったような気がします。（今手元にないので不確実ですが）

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。その本探してみようと思います

回答No.13

nikorin

＞加速度っていうのは微分ができたあとに決められたものですよね？

数学と物理の切り分けができていないのでは？

物に力を加えて加速度が生じることは数学と何の関係もありません。
物理法則なのです、これは。
しかし、この法則を記述しようと思ったら微積分が必要になってくるというわけです。

微積分に限らず数学は自然現象を記述するのに適した「言葉」であるということを
知ってほしいと思います。
一度証明された数学の定理ほど正しさに疑いのないものはないでしょう？
この数学ならではの性質によって、強力な物理学的予言が得られることさえあるわけです。

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.12

dyadics13

＞もうちょっと具体的にどのように微積が使われているのか
＞具体的な例を上げて欲しいんですが

ライフラインに関しては，流量計算や配管設計（強度計算）などです。
どれだけの圧をかければどれだけの量が流れるか，
そのような圧をかけた際に必要な配管強度はどの程度か，
これらを見積もるには微積の知識が必要です。
もちろん実際の配管施工でいちいち微分方程式なんか解いて
行っているわけでなく，様々な状況に対応した情報の
データベースを用いています。微積分が無ければ
これらのデータも適切なものとはならなかったでしょう。

以下気づいた点について補足します。

＞加速度なんて存在しなくても速度だけで制御は十分可能だと思うんですが

フィードバック制御におけるフィードバック情報として
加速度を使うか否かという点では，センサにノイズが乗りやすい
と言うことで加速度を用いない方が良いでしょう。
しかし，古典にしろ現代制御やロバスト制御にしろ，
用いるモデルは一般的に多変数線形多次連立微分方程式です。

＞強度の設計にしたってほんとに信用できるの？
＞っていうモデルの元に計算をしますよね？
＞実際は経験的に強度の安全性なんて分かると思うんですが

経験的にわかるのは，「だいたいこのくらいだと安全そうだ」
という程度です。それが過剰強度か限界ぎりぎりの強度かは，
経験だけでは実際に対象を破壊してみないとわからないでしょう。
特に建造物は大量生産ではなくワン＆オンリーである場合が
多いですから，破壊試験なんてやってられません。
建物などなら過剰に安全率が加わっていても何ら問題は無いですが
（但し静的に安全でも動的に安全かはまた別問題），
航空機などの場合では構造重量の観点から厳密に構造強度を
見積もっておく必要があります（強度があっても重すぎて飛べない
では意味がないですからね）。それには構造モデルを作成して
強度計算をしなければなりません（微分方程式の出番です）。

お礼

具体例を上げて頂いてありがとうございました、納得できました。

回答No.11

ranx

> 実際は経験的に強度の安全性なんて分かると思うんですが
微積分が開発されてからすでに３００年以上が経っています。その間に、人類は理論的予測と実験や観測による
経験とを幾度となく繰り返しています。経験とは言っても、単に偶然に得られたものではなく、すでにその背景に
理論的予測がなされており、多くの場合に微積分が使われています。そうしたことを全て無視して、経験だけで
十分であると主張するのは、かなり無理があると思います。「ほんとに信用できるの？っていうモデル」にしても
それは経験に基づくものです。それを踏まえた上で、経験を超えた予測を行うために理論が使われるのです。

ご質問に対する直接の回答にはならないと思いますが、質問の立て方自体があまりに無茶だと感じましたので
立ち寄らせて頂きました。

あと、brogieさんの指摘に補足させて頂きますが、マクスウェルは電磁波が存在するという仮説を証明する
ために式を解いたのではありません。それまでに発見されていた様々な法則を統一的な形式にまとめたのが
マクスウェルの方程式です。それを解いた結果、電磁波が存在するという、予想もしていなかった理論が導き
出されたのです。また、
>数式から導き出される事実なんてあるんでしょうか？
については、湯川博士の場合は仮説が先じゃなかったかなという気がしますが、もっとはっきりした例として
ディラックによる陽電子の存在の予言がありますね。

補足

わかりました、ありがとうございます。この質問は自分で勉強しないと納得できなそうですね

回答No.10

brogie

>マクスウェルの電磁方程式は、知らないんですが、
大学の物理では習います。
http://ibuki.ha.shotoku.ac.jp/school/science/physics/phys55.html

>電磁波の存在を予言して
>それを証明するために式を解いたんじゃないでしょうか？
そのような例もありますが、
電磁波は予言が先です。
1861年に予言しています。
1888年に実験的証明がされました。
このときマックスウェルは亡くなっています。

>数学なんて仮説を証明するための手段の１つにすぎないと思うんですが、
>数式から導き出される事実なんてあるんでしょうか？
湯川秀樹博士が予言し、それを宇宙線から見つけた中間子が良い例でしょうか。

>例えば宇宙の分野では数式から導き出された
>うさんくさい説が色々あるようですが
うさん臭いものばかりではありません。

参考URL：

http://www.otona.ne.jp/denngiha101.htm

お礼

そうですか、数学から導き出される事実があるとはビックリデス。想像できないのが残念です、ありがとうございました。

回答No.9

linus3030

私は数学専攻でしたが
高校時代、微積でつまずいて赤点をとったことがあります。（自慢？）

身近な例では電子体温計は積分を使っています。
その温度に達することをしなくても
今の変化状況を積分すれば未来予測ができます。
もうちょっと高度な例では
カーナビの位置測定などもさまざまなセンサーから
予測値で制御しています。

微分は変位だけでは推し量れない変化のバロメータになります。
ジェットコースタも高い位置にあるだけでは
さして怖くありませんが速度やＧが加わると怖くなります。
位置を微分していくと速度や加速度が求まります。
これだけでやあんまり役に立たないように見えますが
強度の設計（建築物とか）では非常に重要になります。

現在ではコンピュータが進歩して
大気の状態をさまざまな角度から計測して
微分すれば天気の状況がわかりますし
そいつを積分すると未来の天気がわかります。
（あ、おおざっぱに言うとですよ）

補足

ありがとうございます。でんし体温計やカーナビのよそくも微積を使わなくても予測はできますよね、強度の設計にしたってほんとに信用できるの？っていうモデルの元に計算をしますよね？実際は経験的に強度の安全性なんて分かると思うんですが

回答No.8

yumityan

こんばんは
私も数学をさぼったため、苦労している技術屋です。
さて、人間は頭脳で微積分をしながら生活しています。
例えば、車を運転していて、追い越しを行うとき、追い越しに掛かる時間は微分して、必要な距離は積分して、頭脳で計算しています。混雑している地下街を歩くときも同じ事です。それを数式で考える人は居ないと思いますが、頭脳は見事に計算して、もっと加速して距離を短くして追い越しをしようなどと、微分方程式を解いているのです。料理を作るときも、洗濯をするときも頭では微積回路がめまぐるしく活躍しています。
要するに、変化している状況を、数式で考えてみることが微積分で、頭脳で感覚的に考えていることを「数式で考えてみよう」と言うのが微積分の基本的な考え方です。
微積分を知らなくても、暮らしていけないことは全くありませんが、知っているともっと考え方に幅が出来ると思います。
以前文部省の教育審議会で、女流有名作家が数学無用論を展開していました。
数学の不得意な私としては、よーく気持ちは判るような気はしましたが、今後の科学技術の発達に必要不可欠な基本知識だと思います。
まあ、ちょっとチャレンジしてみてはどうですか。

補足

加速度っていうのは微分ができたあとに決められたものですよね？加速度なんて存在しなくても速度だけで制御は十分可能だと思うんですが

回答No.7

dyadics13

＞分からない聞いているんですが。。。

ではもう少し具体的に述べてみましょう．
他の方々は各分野について直接言及しているので，
もう少し身近な例を挙げましょう．

まず今あなたが目の前にしているもの．
つまりコンピュータや電化製品．
これらは全て微分方程式や積分方程式で表現される
電気・電子工学や量子力学が元となっています．
微積分が無ければ，あなたがこのようにWeb上で
質問することすら出来ません．

次に生活に必要不可欠なインフラであるガス・水道・電気．
これらを供給するための配管・配線は流体力学や
電気工学によるもので，やはり微分方程式が必要となります．
微積分が無ければ，安全に効率良くライフラインを維持する
ことは不可能です．

そして自動車や飛行機等の交通手段．
これらを形作る構造，動力源のエンジンやモータ，
自在にあやつるための制御技術，
効率的な運用計画にも微積分が必要不可欠です．

そして我々が手にする工業製品．
材料から製品に至るまでのフローを
制御する技術も微積分のたまものです．

さらに経済活動．最近しばしば耳にする金融工学は，
確率微分方程式を元としたものです．

さて，原始時代に戻りますか？

補足

＞微積分が無ければ，安全に効率良くライフラインを維持することは不可能です
ってのはいいすぎだと思うんですが。。もうちょっと具体的にどのように微積が使われているのか具体的な例を上げて欲しいんですが

回答No.6

anoko

経済学（マクロ・ミクロ）にも欠かせません。