ある密度での対象間の平均距離の計算方法

質問

表題の件ですが、
調べてもよく分からなかったので、どなたか教えていただけないでしょうか？

たとえば、ある公園において、杉の密度が0.5本/m2だとわかっているとして、
杉同士が互いに最も遠くなるように植えられていた場合、
2本の杉間の距離というのはどのように計算できるのでしょうか？

下記リンクの回答を読んでだので、
一本あたりに割り当てられる面積を算出し、
近似的に距離を出すのは何となくわかるのですが、
もっと明確な公式のようなものがあれば教えていただけないでしょうか？
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1400234.html

よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

外側の形状が決められていない場合は、計算で求めることができます。
　密度をσとすれば、互いに最も離れるように植えたときの間隔は

　　ａ＝√｛２／（σ√３）｝

となり、σ＝０．５本／ｍ^2　のときは、

　　ａ≒１．５２　ｍ

と求められます。

　ちなみに、考え方は次の通りです。

　同じ密度で「互いに最も遠くなるように」ということは、＜等間隔に＞植えることになります。
　平面上で等間隔に並べる方法は、次の２通りです。
　（１）　正三角形の格子点上に並べる。
　（２）　正方形の格子点上に並べる。

　（１）の場合、１つの正三角形の格子には、１／６本の杉が３本ありますので、１／２本分が含まれています。
　正三角形の１辺の長さをａとしますと、この正三角形の面積は　√３ａ^2／４　となります。
　したがって、この場合の密度σは、
　　σ＝（１／２）／（√３ａ^2／４）＝２／（√３ａ^2）
となりますので、距離間隔は、

　　ａ＝√｛２／（σ√３）｝　　・・・・（Ａ）

となります。

　他方、（２）の場合、１つの正方形の格子の中には、１／４本の杉が４つありますので、１本分の杉が含まれています。
　正方形の１辺の長さをａとしますと、この正方形の面積は　ａ^2　ですので、杉の密度σは、
　　σ＝１／ａ^2
となりますので、距離間隔は、

　　ａ＝1/√σ　　　・・・・・（Ｂ）

になります。

　ここで、（Ａ）と（Ｂ）を比べますと、同じσに対して（Ａ）の方が距離間隔ａが大きくなりますので、同じ密度の場合（１）の正三角形の格子の方がより離れた間隔で植えることができます。

　以上のことから、外側の形状に制約条件がなければ、距離の間隔は

　　ａ＝√｛２／（σ√３）｝　　・・・・（Ａ）

ということになります。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
とてもよくわかりました。
場合分けができるのですね。
逆に最密充填しようと思ったら、正方形の格子をイメージすれば良いということですね。
どうもありがとうございました。

回答No.1

dephands

「隣り合う」杉同士が互いに最も遠くなるように植えられていた場合

の話ですよね？

最も遠いってことは、すべての杉の間の距離が全部等しく遠いってことなので(要証明ですが、杉の間の全部の距離が等しい、→正三角形上に杉が生えるってなかんじかと)、三角格子の格子点上に杉が生えていると思えばよいと思いますよ。

格子点の間の距離がaだとすると、一つの格子点にもっとも近いような領域の(ようは、隣り合う点の間の2等分線をつないだ、一辺a/√3の正六角形になるんですが、、、興味があったら書いてみてください)面積は、多分√3/2 a^2になります。

なので、杉同士の距離がaのときは、密度が2/(√3 a^2)になります。
密度に0.5を代入すりゃ、aがきまりますよね。

お礼

はい、隣り合うということでした。
言葉足らずですみません。
教えていただいたように、図を描いたらよくわかったです。
ご回答ありがとうございました。