おまけが重複するのは平均して何本目。

質問

ふと思いついただけの問題なのでわかる人にはつまらない問題かもしれませんが…

あるジュースのおまけにサーカー選手のフィギュアがつくことになりました。
おまけは全部でｎ種類ありますが、買ってくるまで何が入っているかはわかりません。
できたらダブリなしで全ｎ種類をそろえたいですが、なかなかそうもいきません。

さて、このジュースを１本１本買ってきて、全種類コンプリートを目指します試みを
みんなで行うわけですが、最初にダブリが発生してしまうのは平均すると何本目になるでしょうか。

回答No.7

kony0

おっとっと、No.2のroro02さんの回答に対する補足
k回で試行が終了する確率はf(k):=n(n-1)(n-2)・・・(n-k+2)(k-1)/(n^k)ですわ。
すなわちf(k)=(k-1)*{n!/(n-k+1)!}/(n^k)

計算方法は、私もよくわかりませぬ。

回答No.6

kony0

No.4のOshiete_gooさんの回答に対する補足
f(n+1)は「n回目までダブらずに、n+1回目ではじめてダブる確率」
=「n回目までダブらずにとれる確率」×1
=n!/n^n
となりますので、
＞以下同様にk回で試行が終了する確率はf(k):=(n-1)(n-2)・・・(n-k+2)(k-1)/(n^k)となります。
この式がk=n+1のときにも成立します。
ちなみにf(k)=0, for all k>=n+2ですね。

こちらもExcelでn=20の場合を計算したところ、平均は6.29本となりました。また、モードも5,6本目のようです。

回答No.5

roro02

すいません。oshiete_gooさんのおっしゃるとおりで、期待値を求める定義を間違えていました（爆）。

もう何年も確率の問題なんてやってなかったので・・・どうも失礼いたしました。

ただ、結局この和を計算する方法はどうなんでしょう？
途中まで計算してできなかったので気になります。

回答No.4

oshiete_goo

N0.3の訂正
n種類なら
平均値(=期待値)=1*f(1)+2*f(2)+・・・+n*f(n)+(n+1)*f(n+1)
ですかね. 但し, f(1)=0, f(n+1)=1

回答No.3

oshiete_goo

ちょうどk本目を引いて終了(一致)する確率はNo.2 roro02氏の計算と合致していますが, 平均の本数を求めるには, 期待値の定義より

平均値(=期待値)=1*f(1)+2*f(2)+・・・+n*f(n)

でないとまずいのでは? なお,f(1)=0でしょうが.
実は筆者はここで計算が止まっていました.

期待値の漸化式を作ってはどうでしょう.

回答No.2

roro02

一本ずつジュースを買い、フィギュアがダブらなければ次のジュースを買い、ダブれば終了という試行を考えましょう。

最初の１本目は絶対にダブりません。この時出たフィギュアをAとしましょう。
２本目は、A以外のフィギュアだとダブらないので、その種類はn-1種で、ダブらない確率は(n-1)/n、ダブル確率は1/nですね。

３本目で試行終了となる可能性は(n-1)/n×(2/n)、４本目が買える可能性は(n-1)/n×(n-2)/nとなります。

以下同様にk回で試行が終了する確率はf(k):=(n-1)(n-2)・・・(n-k+2)(k-1)/(n^k)となります。ただし、n≧2としておきます。n=1の場合は1回でコンプリートし、２回目以降は必ずダブることになります。

よって、この試行におけるk回目での確率が計算されているので、後はこれを1からnまで足し上げて、最後にnで割れば平均値が出てくると思います。
f(k)=(n-1)P(n-k+2)×(k-1)/n^k 　aPbはaからb個取る順列
となりますが、わたしにはこれの和が計算できません(泣)。

これを足したものをnで割ると期待値(=平均)が出ると思ったのですが・・・。間違っているかもしれませんがその時はご容赦ください。

回答No.1

Sinogi

私も以前に気になって考えたことがあるのですがわかりませんでした（＾＾；

その時に考えた式は
(1/n)*(2/n)*(3/n)*・・・(i/n)<0.5

(i!)/(n^i)<0.5をiについて解ければいいんだろうけど手が出ません。

そこでエクセルを使って乱数を発生させて１０回の平均を実測してみました。
n=6 i=3.7
n=11 i=5.5
n=20 i=6.4

という結果になってしまいました。

n=20の結果はおかしいと思ったので３０回の平均になっています。

どうなっているんでしょうね？