積の符号と絶対値(中学1年)の問題について

質問

「積の符号は負の数の個数によってきまる。偶数個の時＋、奇数個のとき－。」というのがありますが、どうしてそうなるかを
(1)(＋1)×(＋2)×(－3)×(+4）×(－5)
(2)(－1)×(＋2)×(＋3)×(－4）×(－5)
(3)(－1)×(－2)×(－3)×(－4）×(＋5)
を使って説明してください。(1)～(3)全部使わなくてもいいです。
ただどうしてそうなるのかを理由を(人によって
いろんなバリエーションがあると思うので)人によって
どんな説明になるのかを知りたいのです。
よろしくお願いします。

回答No.3

ADEMU · ベストアンサー

これを説明するのに次ぎの定義が必要となります。
（－１）×（－１）＝（＋）１である。
これにより２の倍数つまり偶数の時に符号が（＋）になり、奇数の時に（－）になるという説明ができます。
あとは－２＝－１×２という具合に展開していけば良いと思います。
（１）ですと
１×２×（－１）×３×４×（－１）×５
＝１２０×（－１）×（－１）＝１２０
です。

お礼

ありがとうございます！
なるほど～～深いですねー
そういう考え方がありましたか！
参考にさせていただきます！

回答No.8

love3factory

感覚的な話になっちゃいますけど…

たとえば２×３なら「２を３回足す」という感覚ですよね？
　２×３＝２＋２＋２＝６

それなら、２×（－３）は「２を３回引く（足すの逆）」ですね。
　２×（－３）＝（－２－２－２＝－６

そして、（－２）×３なら「－２を３回足す」ですから
　（－２）×３＝（－２）＋（－２）＋（－２）＝－６

それを組み合わせると（－２）×（－３）は「－２を３回引く」ですから
　（－２）＊（－３）＝－（－２）－（－２）－（－２）＝６
つまり「マイナスを引く」ってことは「プラスを足す」ってことになります。

ということは、マイナスとマイナスをかけている部分というのは、
けっきょくかけ算は足し算の積み重ねという感覚ですから、
マイナスと引く、すなわちプラスを足すのを積み重ねているので
プラスとプラスをかけているのと同じことになり、
いわば、マイナス同時が打ち消しあってプラスになっているわけです。

ご存じの通り、かけ算は計算の順序を変えても答えは同じですから、
たくさんのかけ算の中にマイナスとプラスが混ざっていたとしても
マイナスとマイナスが打ち消しあうように並べ替えられるので、
順番に関係なく、マイナスがいくつあるかを数えればよくなってしまいます。

回答No.7

aster

まず、「マイナスの数」とは何であったのかを、思い出すことです。

こういう話があります。「引き算」というのは、借金取りが来て、借金を返す時の計算だということです。

手元に５しかなく、借金取りが、１０支払えと行って来ると、５までは返せますが、残り、５が、どこにもありません。５返した時点で、手持ちは０になっているのです。

現実社会では、夜逃げするとか、消費者金融でまた借金すして返すというような、蟻地獄の話になるのですが、数学には、「数学の神様」がいて、そういう時に、借金の肩代わりをしてくれるのです。

５足らないので、神様から５借りて、借金を返したという印が、「－５」という、５の前に付く、「マイナス記号」なのです。

－５Ｘ２は、そういう借金を二回したということで、神様に合計ー１０の借金があるのです。

では、－５Ｘ－２とかは何かということになります。

－５にかけるのですから、借金の回数のはずです。ところが、回数がマイナスとはどういうことでしょうか。回数が０なら、借金したことがないです。しかし、回数が－２とは、どういうことなのか。

これは実は、神様に貸付金を貸しているということを意味しているのです。

－５の借金を２回したのなら、借金は倍で、－１０ですが、－５の借金を、－２回したとは、実は、神様に５の貸付金を２回したと言う意味で、－５Ｘ－２＝１０　となります。

マイナスにマイナスをかけると、借金ではなく、貸付金になるので、それは手持ちのお金と同じようなもので、数学の神様は大金持ちなので、すぐ帰って来て、あっという間に、＋１０の財産になるのです。

さて：

＞2)(－1)×(＋2)×(＋3)×(－4）×(－5)

これを例に説明すると、最初に－１の借金があるのです。Ｘ２で、借金２回です。だから、－２となります、更に、Ｘ３で、この借金をまた３回したのです。だから、借金－６です。

ところが、次に、Ｘ－４とでてきます。借金ー６状態に、マイナスの回数が来ると、借金から貸付金に変わるのでした。だから、－４Ｘ－６＝＋２４　です。

＋２４Ｘ－５は、かけ算は順序を入れ替えてよいので、－５Ｘ＋２０と同じです。これは、－５の借金を２０回もしたということです。ですから、借金－１００です。

ここで分かるように、＋の数があっても、借金も、貸付金＝財産も、その性格は変わりません。ところが、－になると借金になり、－とマイナスを掛け合わせると、貸付金になって、借金が逆になるのです。しかし、その後、また－の数をかけると、また借金したことになり、－の数になるのです。

－が一回だと借金、二回だと貸付金、三回だと借金……こういう風に、－が偶数個あると、借金から貸付金に変わり、＋になるのです。ところが、－が奇数個だと、途中で、貸付金に変わったお金が、最後の－で、また借金に変わってしまうのです。

つまり、マイナスの数や、プラスの数をたくさん含むかけ算では、マイナスの数が偶数だと、借金から貸付金になり、従って、＋の数。しかし、－の数が奇数だと、借金にまた戻って、結果は、－の数になるということです。

数学の神様は、古代から銀行業のようなことをしていたのです。神様の銀行は利子がない代わりに、安全確実で、しかも金庫には、「無限」のお金があるのです。

回答No.6

Rossana

「－」と「－」が二つ掛けられる⇒一方を縦にして、合体する⇒「－」と「|」が合体⇒「＋」になる。
っていうのはどうでしょうか？
　ひねくれ者にこうやって教えると絶対質問が来ると思いますが…
例えば、「じゃぁなんでこれは…」って感じで。
「×」を「掛け合わせる」と読み替える所がポイントです。

回答No.5

kony0

私なら、次のように教えます。

３×３＝９
３×２＝６
３×１＝３　
と、かける数を１ずつ減らすと、「かけられる数」分ずつ減っていきます。
これをさらに伸ばすと、
３×０＝０
３×（－１）＝－３
３×（－２）＝－６
というようになります。

掛け算では、かけられる数とかける数を入れ替えても答えは変わらないので
（－２）×３＝－６
あとはここからかける数を１ずつ減らしていきます。
（－２）×２＝－４
（－２）×１＝－２
かける数を１つず減らすと、（－２）ずつ減っていきます。（２ずつ増えると言っいたいかもしれませんが、それはあくまで「（－２）減る＝２増える」の関係を認識してはじめて言えることです。ここで、－がついたままで、”数字”が２ずつ減ってる、などという説明はやめてください。たとえ「絶対値」という言葉を使ってもです。これではかける数が正から負に変わったときに説明ができません。）
（－２）×０＝０
（－２）×（－１）＝２
（－２）×（－２）＝４
（－２）×（－３）＝６
ということで、（－）×（－）＝（＋）が説明できます。（説明しなくても、「これはどうなる？」と問い掛ければ自然に答えを引き出してくれます。これが「誘導」(^^)）

ここら辺で、「ちょっとみてよ、掛け算は符号と絶対値（もし中1でこの言葉を知らなければ・・・教えてあげてください）は別々に計算できる・・・よね？」と押し切っちゃえばいいのではと思います。（ここまできて、これを受け入れられない中学生はまずいないと思います）

あとは３つ以上の積でも扱いは同じで、はじめのうちは２つずつ掛けていって、「掛け算は符号と絶対値は別々に計算できる」ことを納得させた上でやっていけば、ご質問の内容も納得してもらえると思います。

あと、蛇足ですが、正負の数をやっている間に、「項」の概念に通じるところをきっちり教えてあげたほうがよいと思います。
私は「項とは・・・掛け算、割り算のヒトカタマリ」→「＋とか－が出たら、その前で区切る」と教えていました。（本当は文字式のところではじめて「項」は定義されるのかもしれませんが・・・中学生相手にあまりかたいことは言わず、実用的な教え方しちゃってました）
たとえば、２×（－３）＋４÷５×（－６）－７×（－８）であれば、
［２×（－３）］と［＋４÷５×（－６）］と［－７×（－８）］の３つに分けるんだということをきっちり教えたいと思っています。
これを＋［４÷５×（－６）］とか－［７×（－８）］とはしたくないなぁ・・・というのが私の考え。あくまで私個人の考えですが。

回答No.4

gimpei

マイナス掛けるマイナスがプラスになることなら
定義じゃなくて、↓が感覚的に理解できないですか？

　５×１＝５　　　５×－１＝－５
　４×１＝４　　　４×－１＝－４　　
　３×１＝３　　　３×－１＝－３
　２×１＝２　　　２×－１＝－２
　１×１＝１　　　１×－１＝－１
　０×１＝０　　　０×－１＝０

乗数を固定すれば被乗数の増減と解の増減の対応が
明らかですね。(式の左を１減らせば答も１増減する)
連続して被乗数を減していくと、

－１×１＝－１　－１×－１＝１
－２×１＝－２　－２×－１＝２
－３×１＝－３　－３×－１＝３
－４×１＝－４　－４×－１＝４
－５×１＝－５　－５×－１＝５

－１×－１×－１・・・・＝　は
－１×－１の一組を１と計算すれば、偶数個の時
プラスになり、奇数個は－１が一つ余るのマイナスに
なりますね。あとは１じゃなくても理屈は同じです。

回答No.2

Rossana

単純な説明ですが、こんなのでいいんでしょうか？「－」が二つあれば二つで一つ「＋」ができます。だから、二つの整数倍、つまり偶数個あれば必ず「＋」になります。

お礼

回答ありがとうございます。
ん～～でも実は自分も予想していた答えでした。
これ以外ないかなーと模索中なのです。

回答No.1

otsuge

そういう風に決めたから・・・これが答えではまずいんですか？
×という演算子の定義が、そうだと（質問の１行目）思ってたんですが。

補足

そうなんですけど、質問の一行目は結果であって
その過程が知りたいんです～～
一行目は命題といいますでしょうか・・・。
そんな感じなのですが・・・