Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅの逆行列を教えてください

質問

Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅの逆行列を教えてください
４次と５次が分かればいいのですが
どちらか１つでもいいです
サイトがあればそれも教えてください

｜ａ＾０　ｂ＾０　ｃ＾０　ｄ＾０｜＾（－１）＝？
｜ａ＾１　ｂ＾１　ｃ＾１　ｄ＾１｜
｜ａ＾２　ｂ＾２　ｃ＾２　ｄ＾２｜
｜ａ＾３　ｂ＾３　ｃ＾３　ｄ＾３｜

よろしくお願いします

回答No.3

guiter · ベストアンサー

＞（１）上の結果は正しいでしょうか？
計算ミスがあるかもしれないので断定は避けたいところですが、
nubou さんと私が独立に行なって結果が一致しているので正しそうですね。

＞（２）５次の逆行列の各行の分子の項数は左の列から
＞１　４　６　４　１
＞でしょうか？
１行だけ確認したところそのようになりました。

お礼

４次行列とその逆行列の積の第１列を計算すると
ｆ（ｘ）＝（ｂ－ｘ）・（ｃ－ｘ）・（ｄ－ｘ）
とすると
第１行はｆ（ａ）／ｆ（ａ）であり１
第１行はｆ（ｂ）／ｆ（ａ）であり０
第１行はｆ（ｃ）／ｆ（ａ）であり０
第１行はｆ（ｄ）／ｆ（ａ）であり０
だから正しいですね
他の列は文字の入れ替えだけなので全く同じですね
ｆ（ｘ）のｘ＾ｎの各係数に着目すると一般の場合も完璧に証明できることが分かりました
どうもありがとうございました

回答No.2

guiter

２次と３次

｜a^0 b^0｜
｜a^1 b^1｜

｜a^0 b^0 c^0｜
｜a^1 b^1 c^1｜
｜a^2 b^2 c^2｜

の逆行列がそれぞれ

｜-b/(a-b) 1/(a-b)｜
｜-a/(b-a) 1/(b-a)｜

｜bc/(a-b)(a-c) -(b+c)/(a-b)(a-c) 1/(a-b)(a-c)｜
｜ca/(b-c)(b-a) -(c+a)/(b-c)(b-a) 1/(b-c)(b-a)｜
｜ab/(c-a)(c-b) -(a+b)/(c-a)(c-b) 1/(c-a)(c-b)｜

になることから類推すると
ｎ次の Vandermonde の行列
　[M(n)]_ij = (X_j)^(i-1)
の逆行列の(i,j)成分は
　(-1)^(n-j)*f(i,j)/{Π(X_i - X_j)}
のようになると思われます。

ただし、f(i,j)は X_i を除く(n-1)文字の(n-j)次の基本対称式を表すものとし、
Π は 1≦j≦n,j≠i の条件のもとで積をとっています。
具体的に４次の場合の逆行列の(2,2)成分では
　(-1)^(4-2)*f(2,2)/{Π(X2 - Xj)}
＝f(2,2)/(X2-X1)(X2-X3)(X2-X4)
＝(X1*X3 + X3*X4 + X4*X1)/(X2-X1)(X2-X3)(X2-X4)
のようになります。

４次の場合は検算するとあっていました。
５次は確かめていませんが、
n次の一般式でもとの行列と掛け算すると単位行列になりそうでした。
（頭の中でちょこっと考えただけなので確かめてください。）

補足

３次の場合は求めていたのですが回答と同じでした
質問の後４次の場合を求めてみました

Ａ＝（ｂ－ａ）・（ｃ－ａ）・（ｄ－ａ）
Ｂ＝（ａ－ｂ）・（ｃ－ｂ）・（ｄ－ｂ）
Ｃ＝（ａ－ｃ）・（ｂ－ｃ）・（ｄ－ｃ）
Ｄ＝（ａ－ｄ）・（ｂ－ｄ）・（ｃ－ｄ）
とすると
［ｂ・ｃ・ｄ／Ａ　－（ｂ・ｃ＋ｃ・ｄ＋ｄ・ｂ）／Ａ　（ｂ＋ｃ＋ｄ）／Ａ　－１／Ａ］
［ａ・ｃ・ｄ／Ｂ　－（ａ・ｃ＋ｃ・ｄ＋ｄ・ａ）／Ｂ　（ａ＋ｃ＋ｄ）／Ｂ　－１／Ｂ］
［ａ・ｂ・ｄ／Ｃ　－（ａ・ｂ＋ｂ・ｄ＋ｄ・ａ）／Ｃ　（ａ＋ｂ＋ｄ）／Ｃ　－１／Ｃ］
［ａ・ｂ・ｃ／Ｄ　－（ａ・ｂ＋ｂ・ｃ＋ｃ・ａ）／Ｄ　（ａ＋ｂ＋ｃ）／Ｄ　－１／Ｄ］

もしこれが正しいとすると５次の場合も想像が付きますね
スペースの関係で表現できないのですが

（１）上の結果は正しいでしょうか？
（２）５次の逆行列の各行の分子の項数は左の列から
１　４　６　４　１
でしょうか？

よろしくお願いします

回答No.1

nta

URLに書かれているものは規格化されいてますが適当に変換してください。

参考URL：

http://theory.ic.ac.uk/~brody/prog.html

お礼

ちょっと違うような気がするのですが
しかし回答ありがとうございました