最大 最低仕事率

質問

７０ｋｇの人が天井からつるされたロープを
垂直に５ｍを９秒で昇るときの
minimum power output （最低仕事率？）を求めなさい
という問題があるのですが、

最低仕事率の定義がわかりません、
最低仕事率とはどのような状態のときのことをいうのでしょうか？

またmaximum power output (最大仕事率？）についても
よくわからないので定義があるのなら教えてください。
また、これはどのような状態のことをさしているのでしょうか？

回答No.3

inara · ベストアンサー

ANo.1です。
最低仕事率になぜ英語表記があるのか疑問に思っていましたが、英文の問題文を検索したら、同じ問題と回答が出てきました。アスリートがロープを登るという問題は有名なんですか？自分の考えが間違っていないようなので安心しました（速度を一般化した人はいないようですが）。

[1] は数字以外、設問と同じ問題ですが、回答はついていません。
[2] は[1]と同じ問題で、回答つきです。P = W /t で計算しているので、minimum power output = 平均仕事率 と解釈しています。
[3] は数字も英文も全く同じ問題です（回答なし）。ageoldさんの出典はこれですか？
[4] 数字以外同じ質問です。
[5] [1]と[2]と同じ問題です。回答付。

[1] 英語版「教えてGoo」http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=4035
[2] http://forum.physorg.com/index.php?act=Print&client=printer&f=21&t=4035
[3] http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-138684.html
[4] オーストリア版「Yahoo知恵袋] http://au.answers.yahoo.com/question/index.php?qid=20061205145802AAodsQG
[5] http://lofi.forum.physorg.com/new-member-help_4035.html

【フレーズ検索方法】
Googleの検索欄に "What minimum power output was used to accomplish" を入れて検索した結果が上です。探したいフレーズを " " で囲んで検索すると、その語順の文例が全部出ます。自分で書いた英文のチェックにもなるので、この方法は私もよく利用しています。あまり長いフレーズは当然Hitしません。数字の部分を * として検索すれば、* の部分が別の数字（単語）のフレーズも出てきます。

お礼

この問題は私の物理の先生が出した宿題で、
その先生には質問しづらい状態にあったのでこちらに質問しました。
こういう問題の場合、ｍｇｈ/t　が最小仕事率と解釈するのが一番みたいですね。

検索方法まで教えていただき本当にありがとうございます。

回答No.5

ht1914

＃２です。
ｍｇＨ／Ｔで出した仕事率には時間Ｔの間に高さをＨ変えるという運動の効果が入っていません。
一定の速度で上に行くとするとＶ＝Ｈ／Ｔです。物体には位置エネルギーｍｇＨと運動エネルギー（ｍ／２）（Ｈ／Ｔ）＾２とを与えなければいけません。これは最初ごく短い時間大きな力を加えて速度をＨ／Ｔにしてそのあとｍｇの力で等速に運動させるということで実現できます。
仕事率はｍ（ｇＨ＋（１／２）（Ｈ／Ｔ）＾２）／Ｔとなります。これは＃２で与えたｍ（ｇ＋α）／Ｔ、２Ｈ＝αＴ＾２よりも小さいです。一番上まで行ったときはこの運動エネルギーを何らかの方法で捨てないといけません。
人がハシゴを上がるような場合だと一段ごとに一度速度をゼロにしてまた加速するということをやります。ｎ回に分割して考えると運動エネルギーはｎ倍必要になってきます。その場合、仕事率はｍ（ｇＨ＋（ｎ／２）（Ｈ／Ｔ）＾２）／Ｔとなります。
ごく短い時間の加速でなくて１段を上がる時間の２／３で加速、のこりの１／３で等速運動をするというような場合だと
仕事率はｍ（ｇＨ＋（ｎ／２）（３／２）＾２（Ｈ／Ｔ）＾２）／Ｔとなります。これが人の場合に近いと思います。
Ｈ＝５ｍですからｎ＝１０だと１段が５０ｃｍ、ｎ＝１５だと１段が３３ｃｍです。
少し進みました。
それにしてもｍｇＨ／Ｔは単純すぎます。これ以下はないという限界を与えていることは確かですが。

回答No.4

ht1914

＃２です。

＃３の［２］を開いてみました。

私が＃２で
＞どちらにしても単純に考えてｍｇＨ／Ｔとしたものよりも大きな値になっています。有限の時間で移動したという効果が入ってきています。
もしかしたら解答は単純にｍｇＨ／Ｔとしているかもしれませんね。

と書いた　ｍｇＨ／Ｔ　でやってますね。

最少の仕事は決まりますが最少の仕事率というのはハッキリしません。あまり意味もないと思います。同じ仕事を長い時間かけてやればいくらでも仕事率は小さくなっていきます。少々ロスのある仕事をしても時間が長くなれば仕事率は小さくなります。
仕事率は能率にも繋がる考えですから「最少の」という言葉の意味が不明なんです。

お礼

ht1914さんのおっしゃるとおりだと思います。
仕事率はいくらでも小さくしようと思えばできるので、
私も「最小」というのは、この場合適切ではないと思います。
なので、あまり深く考えずに
こういう問題は　ht1914さんの言うように「ｍｇＨ／Ｔで解く」
と解釈することにします。

解答ありがとうございました。

回答No.2

ht1914

ハッキリとした定義があるのかどうかは分かりません。一般に認められたものであるかどうかも分かりませ。どの様な場面で使うのかも分かりません。この問題の載っている本の中の説明にないのでしょうか。

こういう量のことではないかなという推測で答えます。

仕事率は単位時間当たりの仕事量、エネルギーの消費量です。
質問文中に書かれている内容の変化を起こすためにはエネルギーがいくら必要でしょうか。やり方によっていくらでも変わりますね。「この変化を起こさせるために必要な最少の仕事はいくらか」という内容になります。この問題ではこの変化を９秒で起こしています。「最少の仕事」に対する仕事率が「最少の仕事率」になると思われます。

ここからがややこしいです。ボールの運動ではなくて人が登っていく運動になるとさらにややこしいです。重力の場の中で物体が高さを変える運動だとします。人の場合は物体の運動よりもエネルギーのロスの多い運動ですから最少ということで物体で考えます。

物理の教科書で「最少の仕事」という言葉は出てきます。その場合は普通、位置の変化だけで行っています。この問題でいうと「７０ｋｇの物体を高さで５ｍ持ち上げるのに必要な最少の仕事はいくらか」となります。最少の仕事は位置の変化だけを生じさせる仕事ですからｍｇＨとなります。
位置の変化だけを起こすような仕事は「位置エネルギーだけを変化させて運動エネルギーは変化させない」ものです。無限にゆっくり持ち上げるという事を意味します。必要な力はＦ＝ｍｇ＋ｆです。ｆは無限小になりますから上向きの加速度ｆ／ｍも無限小です。
ところがここでは仕事率を問題にしています。当然有限の時間内での変化を想定しています。有限の時間内で変化が起これば無限にゆっくりとした変化というわけにはいきません。
（１）ｍｇよりも大きい一定の力Ｆ（＝ｍｇ＋ｆ）をＴ秒間加え続けてＨ移動させたとします。加速度α（＝ｆ／ｍ）の運動をします。２Ｈ＝αＴ＾２です。した仕事は　ｍ（ｇ＋α）Ｈ　です。ｍαＨだけ増えました。高さＨの所でＶ＝αＴの速さを持っています。
（２）仕事量がｍｇＨとなるような移動方法があります。途中で加速を止めて放物運動をさせます。高さがＨの位置で速度がゼロになる様に調整すれば運動エネルギーはゼロになっていますから結局位置の変化だけが残ります。必要な仕事は力を加えていた間だけで考える事になります。この仕事はｍｇＨです。最少の仕事はやり方を変えても実現します。
ところがこの仕事を力を加えていた時間で割って仕事率を出しますと最少の仕事に対応する仕事率が最少でなくなるのです。

（１）の場合の仕事率はｍ（ｇ＋α）Ｈ／Ｔです。（２）の場合の仕事率を計算すると（ｍｇＨ／Ｔ）（ｇ／（ｇ－α））となります。
（ｇ＋α）／ｇ＜ｇ／（ｇ－α）ですから（１）の場合の方が仕事率は小さいです。余分な仕事をしていますが仕事をした時間も長くなって仕事率が減ってしまったのです。

結局「最少の仕事率」が何を意味するのかはハッキリしません。

どちらにしても単純に考えてｍｇＨ／Ｔとしたものよりも大きな値になっています。有限の時間で移動したという効果が入ってきています。
もしかしたら解答は単純にｍｇＨ／Ｔとしているかもしれませんね。

（計算間違いがあるかもしれません。ご自分でも解いてみて下さい。）

人の場合はどの様にして解けばいいのか分かりません。

お礼

解答ありがとうございます。
これはやはり問題がおかしいみたいなので、

ht1914さんのおっしゃるように「最少の仕事」を等速度運動でしたときの仕事率をもとめるということで納得したいと思います。

仕事率についての説明ありがとうございました！

回答No.1

inara

「最低仕事率」を検索してもHitしません。「最大仕事率」はでますが。
英語版Wikipedia（http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page）でも、「装置や機械の最低出力・最大出力」という当たり前の意味しか出てきません。

>これはどのような状態のことをさしているのでしょうか？
登り方によって仕事率（１秒あたり何Ｊの仕事をしているか）が変わるのかな？と思い、「最小仕事率と最大仕事率」を普通の意味と解釈してまじめに問題を考えると、「仕事率は、登る速度によってどんな値でもとりうる。平均仕事率は一定」という結論になりました。この問題はなぞなぞでしょうか？

【まじめに考えた結果】
質量 m [kg] の物体を、重力に逆らって上方に h [m] 上げるのに必要なエネルギー E [J] は、重力加速度を g [m/s^2] とすれば、E = m*g*h です。この物体をここまで上げるのに時間 T [s] かかったとすると、平均仕事率 P（平均）[W] は

P（平均）= E/T = m*g*h/T --- (1)

となります。これは物体の上げ方には無関係で、最終的に h の高さまで上げたときのエネルギーを、かかった時間で割っているだけで、途中の仕事率の平均を表しています。

一方、物体の速度を、一般に時間 t の関数として、v(t) [m/s] で表したとき、ある時間 T での物体の位置 h(T) は、h(T) = ∫[ t = 0 → T ] v(t) dt ですので、時間 T での消費エネルギー（仕事量）は E(T) = m*g*h(T) = m*g*∫[t=0→T] v(t) dt です。したがって、そこでの瞬間的な仕事率 P(T) [W] は

P(T) = dP(T)/dT = m*g*v(T) --- (2)

となります。T の変わりに t を使って書くと、任意の時間 t [s] での瞬間的な仕事率は

P(t) = m*g*v(t) --- (2')

となります。式 (2') を t = 0 から T まで積分して Ｔ で割ると式 (1) になります。なぜなら、式(2) を積分したときの ∫[t = 0 → T ] v(t) dt は、t = T での高さのことで、これは式(1)のところで、 h に等しいと決めたからです。

問題の最低仕事率や最大仕事率とは、時間 T までの平均仕事率（式(1))でも、時間 T での瞬間仕事率（式(2))でもないと思います。なぜなら、式(1)の場合、m = 70 [kg]、g = 9.8 [m/s^2]、h = 5 [m]、T = 9 [s] とすれば、P（平均）= 381 [W] となり、最大も最小もありません。一方、瞬間仕事率は、v(T) の値によって変わりますが、そればどんな値もとりうる（マイナスも）ので、最大・最小を問うのはおかしいです。では問題の意味は、式（2')で、t = 0～T までの P(0)～P(T)の間の最大・最小という意味でしょうか？しかし、これも速度の時間依存（ v(t) の関数形 ）によってどんな値でもとります。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
最大最小出力について、
Ｐ＝ＦＶで考えたらどんな値でもとれてしまうので
やはり、これはどう考えても問題がおかしいということですね。

自分の中で、「等速度でロープをのぼった」と
勝手に問題文に付け加えて、ｍｇ（５ｍ）以外の仕事をしないで
登ったときに最小仕事率になると解釈することにします。

どうもありがとうございました。

ちなみに元の問題は以下のようなものでした。
In a rope climb,
a 70-kg athlete climbs a vertical distance of 5.0 m in 9.0 s.
What minimum power output was used to accomplish this?