仕事量、仕事率、力積の概念について

質問

古典力学の基本的質問です。興味があって勉強し始めましたが、運動エネルギーの増加分（仕事量）、仕事率、と力積などの概念が感覚的に区別できずとたんにつまずいています。素朴な疑問ですが、以下の２点について教えてください。

質問１
1） 運動エネルギーは速度の二乗に比例するので、例えば車のスピードが秒速10メートルから秒速20メートルに増えた場合と秒速20メートルから30メートルに増えた場合では運動エネルギーの増加分が異なります（1/2 m (20^2-10^2) と 1/2 m (30^2-20^2) で1.67倍の仕事量エネルギーが必要）。

2） 仮に同じ加速度(1m/s2) で進んでいるとすると加速に必要な時間はどちらのケースも同じはずです（10秒ずつ）。そうすると時間で割った仕事率（power)も秒速10メートルから20メートルに増えた場合の方が1.67倍大きいはずです。そうすると、車でいうと後半の加速のほうが1.67倍の出力のエンジンがいるとおもわれます。

3） ただし、この動きを秒速10mの一定速度で車と同じ方向に動いている慣性系から見ると当初の加速はゼロから秒速10mへの加速で次の加速は秒速10mから20mへの加速になりますので仕事量が 1/2 m (10^2) と 1/2 m (20^2-10^2) の差で３倍の違いで、必要時間は１０秒で変わらないので、後半の加速のほうが３倍のエンジンがいることになります。

4） 矛盾している気がするのですが、どのように考えればよろしいでしょうか？どこが間違っているのでしょうか？

質問２
一次元の時、仕事量は∫Fdx で、力積は∫Fdt だったという理解ですが、ある時間の間にある距離を動いた場合に、その間の仕事量は力積とイコールになるのでしょうか？つまり、力の積分を距離でするか、時間でするかの違いで単に、積分のチェーンルールで変数を変更しただけの計算のしかたの違いで、答えは同じになるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

質問１について

2)までは問題なく、正しい考察と思います。実際の場面でも加速度を一定に保とうと思えば、後になるほどアクセルをかなり踏み込まなければなりませんね？時間が等しくとも移動距離が異なりますから、仕事率が異なるのは当然です。結果的に加速度が一定（力が一定）の場合、仕事率は速さに比例します。

ΔW = FΔx　∴　P = ΔW/Δt = FΔx/Δt = Fv

3)で問題が生じます。座標系を乗り換えるときは、力を及ぼし合う物体系をまるごと考えないとつじつまが合わなくなるのです。実は、自動車が走るときエンジンが仕事をする相手は自動車と地球になります。自動車が前向きの運動量を獲得するとき、作用反作用の法則によって地球は後ろ向きの運動量を獲得しているわけです。簡単のため、地球の自転や公転の一切を無視して、自動車とともに静止しているものとします。質量mの自動車の速さv、その変化Δvに対して、質量Mの地球の速さV、その変化ΔVとしますと、運動量保存により

mv - MV = 0　　∴　MV = mv
また、
mΔv - MΔV = 0　　∴　ΔV = m/M・Δv

ですから、微小時間に地球の獲得するエネルギーは

Δ(1/2・MV^2) = MVΔV = mvΔV

となり、自動車の獲得するエネルギー

Δ(1/2・mv^2) = mvΔv

に比べて無視できます。

一方、これを自動車と同じ方向に速さu (ただしu<v)で運動する慣性系で観測すると、地球の獲得するエネルギーは

Δ{1/2・M(V+u)^2} = M(V+u)ΔV = MVΔV + MuΔV = mvΔV + muΔv

となりますが、第１項は無視できても第２項が自動車の獲得分

Δ{1/2・m(v-u)^2} = m(v-u)Δv = mvΔv - muΔv

に比べて無視できなくなります。つまり、静止系のときに自動車が得たエネルギーの一部が、運動系から見るとき地球に移ったということになります。矛盾はありませんね？

質問２について

Fdx = Fdx/dt・dt = Fv dt

ですから、そうはいきません。仕事＝仕事率の時間積分　となるだけです。一方、

Fdt = Fdt/dx・dx = F/v dx

でしょうか。

お礼

質問１：非常によくわかりました。たしかにそのとおりですね。

質問２：これは確かに、単なる計算上の勘違いでした。すいません。。。

でも、まだ力積と仕事量のイメージがつかめません。力を時間で積分した力積の方が、普通の（素人的な）感覚のエネルギーっぽい気がしています（つまり、一定の力を一定時間加えたなど）。

それに対して、質問１の仕事のほうがエネルギーにあたるというのが、まだしっくりきていませんが。。（計算はそのとおりですが）

仕事率（=max/t）とＦ (=ma) の違いもまだ概念的にしっくりきません。。

いずれにしろ、ありがとうございます。よくまた考えて見ます。