同次座標 比例 記法

質問

同次座標というのがあります。
たとえば、３次元空間で、原点からの方向を考えたいとします。
３次元空間の各点に対して、原点からの位置ベクトルを考えたとき、
(1,2,3)や(2,4,6)や(-3,-6,-9)などを同一視したい。
このとき、比例を用いて、
1:2:3=2:4:6=-3:-6:-9
とかけるので、一般に、
x:y:z=1:2:3 (ある実数kにおいて、x=k,y=2k,z=3k)
と表せます。
これは「:」という記号のすばらしさだと思います。

ところで、それは３つの数の組に同じ数をかけたものを等しいとみなしました。
今度は、３つの数の組に同じ数を足したものを等しいとみなしたいとします。
(1,2,3)に対して、(2,3,4)や(-1,0,1)などを同一視したい。

そういった座標は一般には知られていますか?
便利な記法はありますか？
その他、なんでも情報があればいただきたいです。

回答No.2

proto · ベストアンサー

何について聞きたいのかいまいちつかめなんいですが、平行移動を同一視するなら物理でいう慣性系かな？

これから先、もしかしたら的はずれなことを書くかもしれないんですが、

同次座標なら３次元の座標を表すのに(x,y,z,w)のように４次ベクトルを使うはずなんです。
またそのときに(1,2,3,1)と(2,4,6,2)と(-3,-6,-9,-3)は同じ(1,2,3)を表しますが、３次元上の(1,2,3),(2,4,6),(-3,-6,-9)を同一視するわけではありません。
(1,2,3),(2,4,6),(-3,-6,-9)は同次座標でそれぞれ、(1,2,3,1),(2,4,6,1),(-3,-6,-9,1)と書かれそれぞれ区別されます。

また同次座標系の便利なところですが、通常3次元座標を3次元ベクトルで書くと、拡大・縮小はベクトルの定数倍で書けるのですが、平行移動はベクトルの和でしか書けません。
同次座標でしたら、平行移動も行列の積で書くことができます。
また、同次座標ならば方向ベクトルを指定すれば(x,y,z)方向の無限遠点を(x,y,z,0)と書くことができます。

お礼

ありがとうございます。
ところで、同次座標と射影座標の違いってなんでしょうか？

回答No.3

noname#101087

「同次座標」での「移動」のことでしょうか。
アフィン変換に「平行移動」がありますが、「同次座標」を使えばアフィン変換を線形変換に帰着させることができる、
ということのようです。

下記ページなど参照。
--------------------------------------------------
　http://nis-lab.is.s.u-tokyo.ac.jp/~nis/CG/cgtxt/cg2/cg024.htm
>2.4　2次元の座標変換

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

お求めの物は原点(0, 0, 0)と点(1, 1, 1)とを結ぶ直線と垂直になる2次元平面と同じですね。
単なる商空間のひとつなので特に名前はありません。

お礼

ありがとうございます。
視覚的イメージはそれでいいと思います。

普通の２次元同次座標は、半球（射影平面）と同一視できると思います。
そして、座標は、
x:y:z=1:2:3
つまり、
ある実数kにおいて、x=k,y=2k,z=3k
などと表せます。

今度は、３つの数の組に同じ数を足したものを等しいとみなしたいとします。
(1,2,3)に対して、(2,3,4)や(-1,0,1)などを同一視したい。
そのとき、座標を、
(x,y,z)≡(1,2,3) (mod (1,1,1))
つまり、
ある実数kにおいて、(x,y,z)-(1,2,3)=k(1,1,1)
などといった記法はよいでしょうか？
それとも許されないでしょうか?