ヘッシアンが０になった場合

質問

ヘッシアンが０になった場合。

ヘッシアンが０になった場合について質問します。

この場合具体的にどうすればいいんでしょうか。
いろいろ調べましたが
３次近似をするとか、候補の点の近くを適当に動いてみて考えるとか
もっと高次の場合を考えるとか。

いろいろな回答が出てきましたが、
コレッ ていう考え方がわかりません。
ただ自分の知識不足なんですがね。

例題を載せますので、よろしければ詳しく教えて下さい。
f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ
fx=0 かつ fy=0 より
極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0)

ここでヘッシアンを用いる
H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2
点(0,0)について H(0,0)=0
ここからどうすればいいでしょうか。

あとの２点は計算した所極値をもちました。
よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp

f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2
∀ε>0に対して
x=min(ε,1)/2
とすると
0<|(x,0)|=|x|<ε
f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2)<0=f(0,0)
0<|(x,x)|=|x√2|<ε
f(x,x)=2x^4>0=f(0,0)
f(x,0)<f(0,0)<f(x,x)
だから
f(0,0)は極値でない