範囲の求めかた

質問

xを0でない実数　とするときk=x＋(1/x)のとりうる値の範囲を求める問題で
(相加平均）≧(相乗平均)を利用して
k=x*(1/x)≧2√{x*(1/x)}=2
等号は
x=1/xより
ｘ＝±1になりました
答えは
k≦-2またはK≧2と書いてあるのですがこの範囲はどのようにして現れたのでしょうか？

回答No.1

repobi · ベストアンサー

相加相乗平均で解く方法もあった気がするんですが、よく思い出せません。。。、
もうちょっと考えてみます。。

　　　　k=x＋(1/x)
両辺にxを掛けて、
　　　　(x^2)-kx+1=0
実数解が存在するので、判別式がゼロ以上
　　　∴(k^2)-4≧0
(k-2)(k+2)≧0
k≦-2,2≦k

回答No.3

lick6

相加相乗平均の関係は必ず正の値であることが条件です。
もし相加相乗平均の関係を使いたいのであれば、まず
f(x) = x + 1/x とすると
f(-x) = -x + 1/-x
　　　 = -x - 1/x
　　　 = -f(x)
であるからこのグラフは原点対称である、と断ってから
よって以下は x > 0 として求める、として相加相乗をつかって最後に
このグラフの x < 0 の部分は x > 0 の部分を原点に関して対称移動したものであるから求める範囲は
k ≦ -2 or k ≧ 2

ちなみに相加相乗は正の範囲のみなので等号成立も x = 1 のときのみになりますよ。
結局このあとひっくり返して x = -1 も k = -2 の解にはなるのですが気をつけてください。
最後に＃１さんが紹介している「実数解が存在するので・・・」という方法も重要ですので是非抑えて置いてください。

補足

みなさん、いろいろな解説どうもありがとうございました。

回答No.2

koko_u

a + b ≧ 2√(ab) は当然 a ≧ 0, b≧ 0 でしか成立しませんし、x と 1/x は独立に値を取れるわけではないので、適切な論理展開とは言えません。
敢えてやるなら、
「相加相乗平均により x > 0 の場合には k ≧ 2 であり、k = 2 のなるケースがあるとすればそれは x = 1/x の場合、
すなわち x = 1 の場合で、実際に x を 1 とすれば k = 2。
さらに x = -y < 0 の場合は k = -(y+1/y) であり、
同じ論理展開により k ≦ -2 であり、x = -1 の場合に実際 k = -2 となる」
という感じ。

ややこしいことは考えずに x の関数 f(x) = x + 1/x として微分すれば f'(x) = 1 - 1/x^2 極値を取るのが x = ±1 の場合で

f'(x) > 0 ( x < -1 ) , f'(x) < 0 ( -1 < x < 0 ), f'(x) < 0 ( 0 < x < 1 ), f'(x) > 0 ( x > 1 )

によってグラフを書くのが単純明解かと。