標本点に関する問題

質問

hyouf_1(x),f_2(x),...,f_n(x)を区間[a,b]上の実数値関数とし、M＝Span{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}とする。任意のｎ個の標本点(a≦)x_1<x_2<...<x_n(≦b),および任意のｎ個の実数a_1,a_2,...,a_nに対して適当なf∈Mが存在して、f(x_i)=a_iとなるための必要十分条件はｎ次の行列
｜f_1(x_1) f_2(x_1) ・・・・f_n(x_1)｜
｜f_1(x_2) f_2(x_2) ・・・・f_n(x_2)｜
｜・・・　　　・・・　　・・・・・・｜
｜f_1(x_n) f_2(x_n) ・・・・f_n(x_n)｜
が正則であることを示せ。上の行列は行列式ではありません。
Span{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}とはf_1(x),f_2(x),...f_n(x)の線形結合全体をあらわします。つまりSpan{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}＝{c_1*f_1(x)+c_2*f_2(x)+・・・+c_n*f_n(x)|c_1,c_2,....,c_n∈R}です。

回答No.3

sire

理解していただけて幸いです。

>よってf(x_i)=a_iがわかる。これで証明できていますか？？
いいのではないでしょうか。

問題のニュアンスがつかめればよいと思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

sire

f が f_i(x) (1≦i≦n)の線形結合で表されますので、f_i(x)がfの基底となっています。それでf_i(x)をB-スプライン関数といい、fを区分多項式といいます。(スプラインはあくまでそのうちの1つですが)
以上がこの問題の背景でしょうか。

1≦i≦nに対して、f(x_i)=a_iとなる　ということは
f_i(x)を基底とした区分多項式fが
No１さんの回答のように、
f(x_i)= c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+・・・+c_n*f_n(x_i) = a_i
のように c_i(1≦i≦n)を使って 表される　ということですね。
（連立方程式を解かなくてもいいのですが、）
上式が成り立つようなc_i(1≦i≦n)が存在するということです。
つまりn個の連立方程式でc_iが求まる→出題の行列が正則で逆行列が存在する。
ということになります。

(質問で問題をそのまま載せるのではなく、自分なりに考えたことも書いておきましょうね)

補足

ありがとうございます！！おかげさまでf(x_i)ならば行列は正則のほうは理解できました。それで正則ならばf(x_i)=a_iの十分条件のほうなんですが、行列が正則と仮定する。この行列をAとおくと、Aは正則なのでAC＝y (CとyはベクトルでC=[c_1,c_2,....,c_n],y=[a_1,a_2,...,a_n])が解をもつ。よってi成分について　f(x_i)=c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+....+c_n*f_n(x_i)=a_iを満たす。よってf(x_i)=a_iがわかる。これで証明できていますか？？

回答No.1

rabbit_cat

ほとんど自明に近いですが。
i=1..nとして、n元連立方程式
f(x_i)= c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+・・・+c_n*f_n(x_i) = a_i
を解くだけ。

お礼

理解できました。ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。つまり
・f(x_1)=c_1*f_1(x_1)+c_2*f_2(x_1)+・・・+c_n*f_n(x_1) = a_1
・f(x_2)=c_1*f_1(x_2)+c_2*f_2(x_2)+・・・+c_n*f_n(x_2) = a_2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・f(x_n)=c_1*f_1(x_n)+c_2*f_2(x_n)+・・・+c_n*f_n(x_n) = a_n
なる連立方程式をとくということですか？？