信じられない足し算

質問

なにかの雑誌でみたか、テレビだったのかは忘れたのですが
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・＝1
とゆう式はうそだと思うのです。正の数を永遠に足してるのに答えが１とゆうのはおかしいと思います。
けれども証明はよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.8

ojisan7 · ベストアンサー

1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・＝1　・・・（１）
この式はこれで正しいのです。単なる数式の表記法の問題にすぎません。
左辺のｎ項までの和をΣf(n)としたとき、この式の意味は、
lim(n→)Σf(n)＝1
と書くべきですが、普通は簡略化して（１）のように表記します（このことは重要です）。これは「極限値」が１であることを意味しています。尚、（１）の左辺は１に等しいのかということですが、No7さんの回答にもあるように等しいとしても矛盾を生じません。また、矛盾を生じないように理論を組み立てることも可能です。同様に、No6さんの0.99999……が１に等しいことも、矛盾なく理論化できます。下記URLのNo6の回答を参考にして下さい。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2336421.html

お礼

ありがとうございました。
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回答No.10

ojisan7

No8です。lim(n→)Σf(n)＝1をlim(n→∞)Σf(n)＝1と訂正させてください。ついでにというのも変ですが、ここでもう少し補足をさせてください。
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・＝1　・・・（１）
（１）の左辺の意味については、「無限級数の和」の定義を復習して下さい。何度も申し上げますが、この式は正しい式であり、等号が成立します。記号「≒」の使用は誤りです。理由は、No８の参考URLに掲げたCauchy列の解釈が適用できます。
尚、これに関連して、多くの人が間違いやすい（と思われる）例について述べさせて下さい。
「1/nでnを限りなく大きくすると０に等しくなるか？」ということです。
式で言えば
lim(n→∞)1/n=0　？
ということです。多くの人は（学校の数学の先生を含めて）、「1/nはｎをいくら大きくしても、分子が０ではないので、０に限りなく近づくが、決して０にはならない」と考えます。一見、このことは正しいように思えますが、「ｎを無限に大きくした場合はどうなのか」ということです。正解は「０」に等しくなるのです。このことも、Cauchy列の考えを使えば明瞭に理解できることです。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.9

Ama430

正体のわからないものの正体を見極めるには、いくつかの方法があります。

「Ａ－Ｂ＝０」を示して、そこから「Ａ＝Ｂ」を導くのもよく用いられる方法です。

1-1/2=1/2
1-(1/2＋1/4)=1/4
1-(1/2＋1/4＋1/8)=1/8
1-(1/2＋1/4＋1/8＋1/16)=1/16
1-(1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32)=1/32
....
1-(1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32+...+1/2^n)=1/2^n
(2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32...)

つまり、１から(１／２から２のｎ乗分の１までの和)を引くと、答は２のｎ乗分の１になります。

したがって、ｎが大きくなるほど、１と(１／２から２のｎ乗分の１までの和)は差が小さくなり、どこまでも２の？乗分の１の足し算を続けて引くことで、どこまでも０に近づきます。

したがって、「無限に」計算を続けるという条件では、「１」と「２の？乗分の１の足し算」は同じと扱うのです。

このような「極限」の世界を認めないと、「亀が少し前にスタートすると、アキレスが亀の位置にたどりついたときには亀はほんの少し前に進んでいるから、アキレスは永遠に亀の位置にはたどりつけない」という「ゼノンの逆理」を論破できないのです。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.7

Ishiwara

1+1=2 のイコールと(1/2)+...=1 のイコールは違うのです。
前者は「数どうしが等しい」ことをいい、後者は「極限」という、一種の「状態」を指しています。もちろん、この「状態」は、一般に数式の中で「数」と同じように扱うことが許されています。

極限とは、ＡがＢに「果てしなく近づきつつある」という状態です。
A=(1/2)
A=(1/2)+(1/4)
A=(1/2)+(1/4)+(1/8)
.....
という極限状態にあるときでも、Aは決してB(すなわち１)に等しくはなりえません。

しかし、Bが非常に小さい数Cを設定し「Aさん、これ以上私のそばに来ないで！（B-Cよりは大きくならないで！）」とお願いしたとします。

このとき、「どんなに小さいCを設定しても、いつかは（有限の歩数以内で）必ず突破されてしまう運命にある状態を「Aの極限値がBである」と表現します。これは決して「いつかは、AがBに等しくなる」という意味ではありません。

しかし、現実の問題を扱うとき、あたかもA=Bであるかのような数式上の取り扱いをしても、多くの場合支障がないので、そうしているにすぎません。

ギリシャの「ウサギと亀」の話以来、これはたいへん哲学的な内容を持った関係なのだということができます。

なお「本題」から外れますが、No.6さん、「本代」ではありません。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.6

Ichitsubo

本代からはずれますが、
>とゆう式
>答えが１とゆうのは
「という」が正当です。

ところで「正の数を足し続けるのに答えが１」
というのはおかしいことなのでしょうか？
足の速いjodanshuesさんと足の遅い私が同じトラックを走ります。jodanshuesさんの走る速さは、わたしのちょうど倍としましょう。
私はあらかじめ0.5kmのハンデをもらいます。

スタート直後は、jodanshuesさんは0km地点、私は0.5km地点にいます。
jodanshuesさんが0.5kmまで走ってきたとき、私はその半分の速さで走ってるので0.5+0.25＝0.75km地点にいます。
さらにjodanshuesさんが0.75kmまで来たとき、私は半分の速さなので0.875km地点にいます。
これをどんどん繰り返すと、1kmの地点でjodanshuesさんと私の位置が肉薄しますね。

正の数を足してはいますが、たす数が小さいと言うことに注目してください。似たような例は次の通り
　0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 +……
この答えは1となることは容易にご理解いただけると思います。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.5

cabinessence

証明は下記のとおり。

S=1/2＋1/4＋1/8+...+1/2^n
S/2= 1/4＋1/8+...+1/2^n+1/2^(n+1)
したがって、
S/2=1/2-1/2^(n+1) ⇒ S=1-1/2^n
nを大きくすると急速に１に近づくことがわかります。実際、

n S
--------------
1 0.5
2 0.75
3 0.875
4 0.9375
5 0.96875
6 0.984375
7 0.9921875
8 0.99609375
9 0.998046875
10 0.999023438
11 0.999511719
12 0.999755859

納得できました？

お礼

ありがとうございました。
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回答No.4

Willyt

数列の和をＳとします。すると
Ｓ　　　＝1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・+(1/2)*(n-1)
1/2・Ｓ ＝ 1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・+(1/2)*(n-1)+(1/2)*n
これの引き算をすると
1/2・Ｓ＝1/2 - (1/2)*n →　Ｓ＝1 - (1/2)*(n-1)
となります。ｎを∞にすると　ちゃんとＳ＝１になるでしょ(^_^)

お礼

ありがとうございました。
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回答No.3

mac-dows

厳密な証明ではなく答えになっているかわかりませんが。
「
私が一枚の紙をもっているとします。半分（1/2）に切って、その半分を貴方に渡します。それからこちらに残っている紙（元の1/2）をさらに半分にして、半分（1/4）渡します。これをくりかえしていけば、貴方が持っている紙は1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋・・・ですね。私は元からあった一枚の紙を半分にちぎってそのつど渡しているだけだから外から紙を持ってくる必要はありません。ただ半分にしていくだけです。だからこれを無限に繰り返したところで貴方が持っている紙の合計は「１」を超えることはありません。
」

＝と≒ですが。＝でもいいと思います。ただし、無限に続くことが条件ですが。無限に続く限り、こちらに残った紙片は当然、無限に小さい。だから無視でき、貴方の紙は１になります。少なくとも物理ではそれでいい・・ハズ。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.2

noname#111369

位取りの魔術ですよ、きっと！！。

１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＋・・・＝１
と
１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＋・・・≒１．０
は意味する事が全く違いますね。
０　１　２　３　４　５　・・・は小数点が無いので、
その式からはゼロではありません。
しかし、小数点も付いていない事から推測すると、
［無い物］と［２つある物］の間なのだから［１つある物］ですね。

ちょっと一口かじったリンゴなのでしょうね。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.1

noname#39388

「＝」ではないですよねぇ。
限りなく１に近づくとは思いますけど。
「≒」ならOKだと思います。

お礼

ありがとうございました。
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