x/(1+x^2)^2 (0<=x<=R) (Rは定数)のxについての定積分について

質問

答えがR^2/2(1+R^2)になるようですが、途中のやり方がよく分かりません。x=tanθの変数変換をやってみたのですが、このような形にはならないのです。どなたか教えていただきますようよろしくお願いします。

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

x = tanθ と変数変換をしてもできなくはないのですが，
それは 1/(1+x^2)^2 のような式を積分する場合の方法です。

(1+x^2)’= 2x に注目すれば，

　　x/(1+x^2)^2 = x (1+x^2)^(-2) = (1/2) * (1+x^2)’* (1+x^2)^(-2)

は合成関数を微分した形ですから，「微分の逆」を行なって

　　∫_0^R x (1+x^2)^(-2) dx = (1/2) [- (1+x^2)^(-1)]_0^R
　　= (1/2) * { 1- (1+R^2)^(-1) }
　　= (1/2) * (R^2)/(1+R^2)

と計算すればよいのです。

お礼

そのやり方でできました！
案外簡単にいくものですね。
ありがとうございました。

回答No.1

kakkysan

基本的には、x=tanθの変数変換でうまくいくと思います。

計算途中で下記ＵＲＬの「半角の公式２」を利用します。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/kousikisankaku.pdf

積分区間として
0<=θ<=θ1　　（ただしθ1は　R＝tanθ　を満たすθ）

細かい事は省略いたしますが、もう一度計算にチャレンジしてみて下さい。ご健闘を。

お礼

今回は、どうやら変数変換は行わなくてよかったみたいです。
でもそのようなやり方もあったことを思い出すことができました。
どうもありがとうございました！