背理法について

質問

x,y,zを自然数とし、P=(x＾2)+(y＾2)+（ｚ＾2)とする。
このときx,y,z,pがすべて素数ならば、x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数を証明する問題で

例えば
p=3の倍数　…(1)
x,y,zがすべて素数だと
x≧2,y≧2,z≧2
P=(x＾2)+(y＾2)+(z＾2)≧(2＾2)+(2＾2)+(2＾2)≧1＾2 …(2)

(2)の≧1＾2 が最後に付くのか分かりません。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

以前も似たような質問をされていたと思いますが、はっきり言って
問題を間違えているか解答を間違えて覚えているか、どこかに
勘違いがあると思います。
関連の資料をよく見直された方がいいでしょう。
まず、これらはどれも素数である必要はありません。自然数である
必要すらありません。
p,x,y,zが整数で
p=x^2+y^2+z^2
が成立しているならどれか一つは3の倍数です。

また、この命題を証明する際に
P=(x＾2)+(y＾2)+(z＾2)≧(2＾2)+(2＾2)+(2＾2)≧1＾2
とする必然性が見出せませんし、今、pは3の倍数とすれば証明したい
命題に沿ってしまっていますから矛盾が出てくるはずはありません。

矛盾が出てくるのならそれはp,x,y,zがどれも3の倍数である必要が無いことを
証明したことになります。

単にpが3の倍数であることを証明したいのなら、仮定せずに

x,y,zが3の倍数でないならそれぞれ整数k,m,nを用いて

x=3k±1
y=3m±1
z=3n±1

と表せる。このとき

p=x^2+y^2+z^2=3(3k^2+3m^2+3n^2±2k±2m±2n+1)

とすれば、pは3の倍数であることを証明したことになります。
素数は整数の一部分ですからこの証明はx、y、zが素数の場合にも適用できます。
とにかく、背理法で何かを証明したいなら命題を否定しないと
矛盾は出てきません。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
長い間どうもありがとうございました。

回答No.2

motochan7185

問題はおそらく、
x,y,z,pがすべて素数ならば、
でなく
pが素数ならば、
では無いでしょうか。
そうだと仮定して話を進めてみます。

背理法を使って証明するには、元の命題の対偶
「x,y,zが全て３の倍数でないとき、pは素数でない」
を証明すれば良いことになります。
ここで、
x = 3m + a
y = 3n + b
z = 3k + c
とおくと、（m,n,kは０以上の整数、a,b,cは１または２）
x^2 + y^2 + c^2 =
9(省略) + 6(省略) + a^2 + b^2 + c^2
となります。
ここで、a^2 + b^2 + c^2 が３の倍数であることを証明すれば
pは３の倍数ということになり、証明できます。
a,b,cに１か２の数字をあてはめたときの
すべての組み合わせについて調べてみてください。

補足

Pが３の倍数として考える時について教えてください。
pは3の倍数なのでPの素数は3になります。
素数は２以上の数なので
x≧2,y≧2,z≧2になることまで分かりました。
P=(x＾2)+(y＾2)+(z＾2)≧(2＾2)+(2＾2)+(2＾2)≧1＾2 の導き方を教えてください。

回答No.1

kakkysan

＞x,y,z,pがすべて素数ならば、x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数
問題がおかしくありませんか。
x,y,zがすべて素数なら、x,y,zのどれも３の倍数になりません。