背理法

質問

x^3-3x+1=0は有理解をもたないことを証明しろと言う問題なんですが、

有理解ｘをもつと仮定して
x=q/p (p≠0 pは整数　qは自然数)で
式に代入してp^3をかけると
q^3=p^2(3q-p)となって

解答に、「p>1のときpが因数mをもつとすると、qも因数mをもつ」
とあります。それはなぜでしょうか？

また他に有理解をもたないという証明のやりかたはあるでしょうか？

回答No.16

ataokoroinona

x^3+x+1=0 が有理数の解を持つと仮定する
　x=q/p (q,pは互いに素な整数)
とおける
式に代入して整理すると
　p^3=-q(p^2+q^2) ...(1)

ここでqが素因数nを持つと仮定すると
　q=an
とおけ，
　p^3=-an(p^2+q^2)
よってp^3は素因数nを持つ
nは素数なので，pも素因数nを持つ
すると，pもqも素因数nを持つことになり，pとqが互いに素であることに矛盾する

よってqは素因数を持たないので
　q=±1
q=1のとき(1)に代入すると
　p^3=-p^2-1
　p=-1-1/p^2
pは整数なので，右辺の1/p^2が整数になるためにはp=±1でなければならないが，これは上の等式を成り立たせない
q=-1の時も同様
よっていずれの場合も矛盾が生じるので，x^3+x+1=0は有理解を持たない

回答No.15

koko_u

>「命題が真⇔その対偶も真」は真なので(中略)が真なら
>証明できたことになるのではないでしょうか？
だからその証明を書いてないでしょ。
対偶をとることで証明し易くなるケースもあるけど、Kules さんは「言い換えただけ」で証明したつもりになっているので誤りを冒しているのです。

>そもそも他の人の回答で質問するのは削除対象なのかな？
そうみたい。削除されても私は気にしないけど。

>ですので、後学のため「完全な証明」をお願いできないでしょうか？
kakkysanさんの証明の「因数」を「素因数」に書き換えたやつ。

回答No.14

Kules

うーん答えている自分自身わからなくなってきた…
高校現役の時はこのように書いて点もらってたし、予備校の先生に聞いても「その考え方でいい」という返事だったのでそれでいいと思ってたのですが不十分なのかな？

＞「3乗した数が m で割り切れれば、元の数も m で割り切れる」の対偶なので、まったく証明になってません。
「命題が真⇔その対偶も真」は真なので「元の数がｍで割り切れなければ３乗した数もｍで割り切れない」が真なら証明できたことになるのではないでしょうか？

＞書いてなければ「証明」とは言えません。
はいその通りです…論証不十分でした。質問者さんのもっている解答では完全にはしょってあるみたいなんでついその辺すっとばして書いてしまいました。

＞koko uさん
そもそも他の人の回答で質問するのは削除対象なのかな？わからないんですが、
私の証明法が不十分ならばもう一度勉強しなおさなければならないし、今個別指導で高校生に数学を教えている以上私がこのまま不十分な知識で教えれば生徒も不幸です。
ですので、後学のため「完全な証明」をお願いできないでしょうか？
もうすでに飽きている上完全に筋違いなお願いのような気がしますが、お願いします。
もしここで質問することが規約違反なのであればあらたに質問をたてますので…

回答No.13

koko_u

そろそろ飽きてきましたが。
Kules 氏も「因数」と「素因数」の違いに注目しているのに、自身の論理展開で両者の区別が疎かになっているのが残念ですね。

>私が書いているのはkoko uさんの例で言うならばm=3の時で、
数学の証明では前提をハッキリと書くことが重要です。
Kules 氏の証明の中で「ｍで割り切れる」以外のものを３乗しても、ｍ×( )の形にはできません。」と述べられていますが、m に対する前提が不明確です。
ついでに、この命題は結局「3乗した数が m で割り切れれば、元の数も m で割り切れる」の対偶なので、まったく証明になってません。

元々の問題の背理法による証明の論理展開で p の「因数」 m を考えてしまうと、
q^3 を m が割り切っても q を m が割り切ると結論できずに、議論が止ってしまいます。
恐らく無意識の内に m の素因数 m_0 を考えて、m_0 が p と q を割切って矛盾と考えているのでしょうが、書いてなければ「証明」とは言えません。

回答No.12

Kules

No.9,10で回答したものです。
質問者さんの回答に対してどうこうするのはルール違反なのかも知れませんが…

＞素数でない場合の反例は単純で 15^3 が 3^3 = 9 で割り切れても、15 は当然 9 では割り切れません。
私が書いているのはkoko uさんの例で言うならばm=3の時で、
qが３の倍数でなければq^3も３の倍数にはならない。つまり確かに右辺は９の倍数だが、９の倍数になるためには少なくとも３の倍数でなくてはならないのでqは３の倍数である。
ということです。qが９の倍数であるかどうかはどうでもいいことです。よってその反例の立て方自体がルールから外れています。

今この問題での背理法では「p,qが互いに素である」の矛盾を示したいのでpもqも素数でなくてもこの論議は成り立ちます。要は、「互いに素」と仮定して話を進めたのにpとqが共通因数mを持つことが矛盾なのであり、pやqが素数でないことは矛盾でも何でもありません。

回答No.11

koko_u

>「ｍで割り切れる」以外のものを３乗しても、ｍ×( )の形にはできません。
いつの間にか m に関する恒等式の話になってますね。よくある間違いです。

素数でない場合の反例は単純で 15^3 が 3^3 = 9 で割り切れても、15 は当然 9 では割り切れません。

回答No.10

Kules

ANo.9です。
でも答えがわかんないということを書いた５分後ぐらいに気づきました^^;

ｐ、ｑは整数と言う条件があるんでしたね…それなら
「ｐ＝ｍｋならｑ＝ｍｋ’」は言えます。

まずｐ＝ｍｋをq^3=p^2(3q-p)に代入すると
q^3=(mk)^2(3q-mk)=m^2k^2(3q-mk)となります。これで、q^3がｍの倍数であることはわかりました。

ここで「q^3がｍの倍数⇔ｑがｍの倍数」が言えるか考えてみます。
例として、「q^3が２の倍数⇔ｑが２の倍数」になるか考えます。
整数というのは奇数と偶数に分けられ、逆に「奇数でも偶数でもない整数」は存在しません(少なくとも高校数学までは)。
当たり前ですが偶数は２の倍数、２の倍数でないものが奇数です。奇数を３乗して偶数になるでしょうか？絶対なりません。
「q^3が２の倍数⇔ｑが２の倍数」のうち←は明らかで、→も今の話から成り立つことがわかります。
同じように「q^3がｍの倍数⇔ｑがｍの倍数」を確かめます。
整数はこの場合「ｍで割り切れる」「ｍで割ると１余る」「ｍで割ると２余る」…「ｍで割るとｍ－１余る」に分類され、これのどれにもあてはまらない整数は存在しません。このうち、「ｍで割り切れる」以外のものを３乗しても、ｍ×( )の形にはできません。なので「q^3がｍの倍数⇔ｑがｍの倍数」が言えることになります。

これによりｑはｍの倍数であることがわかり、ｐとｑは互いに素であるということに反します。背理法により、解は有理解でないことになります。
整数解となるとｐ＝１なので上の方法は使えなさそうですね…微分が使えるならグラフの概形を描いて中間値の定理なんかで整数の部分でｘ軸と交点を持たないことを示せばいいかな…もっとスマートな方法がある気もします。
長文＆連続回答失礼しました。

回答No.9

Kules

若干問題から離れてきているような気もしますが…
大学生ですが大学以上のムズカシイ数学はわかんないので、高校数学で話させてもらいます。
・「因数」「素数」「素因数」
なんかこの３つについてはわかってたつもりなのにここで書かれていることを読んでいるとわかんなくなってきました^^;
「因数」とは！と言われるとちょっと答えにくいのですが…「ｐはｍを因数に持つ」⇔「ｐはｍの倍数である」⇔「ｐ＝ｍｋとあらわせる(ｋは整数)」ぐらいに捉えています。
「素数」これまた正確な定義は知らないんですが、「約数が２個の数」と捉えています。約数を１個しか持たない「１」は素数じゃないです。「素因数」これは因数が素数だよ、ってことでしょうか。30＝２×15としたら、２も15も30の因数で、２は素因数でもあるよ、みたいな。

・「全ての自然数は素因数を持つ」が自明でない。
そうなんですかー…知らなかった＞＜。まあ高校までに出てくる普通の自然数なら１以外は素因数分解できるんで素因数を持つって思っててもいいでしょう。これを証明せよと言われたら私はできない気がするなあ…

・「互いに素」
これは要は「ｐ、ｑが互いに素」⇔「ｐ、ｑの最大公約数が１」⇔「ｐ/ｑは既約分数」って感じで思っといて問題ないでしょう。

・この問題自体
みなさん書かれているように「ｐ＝ｍｋと表せるならｑ＝ｍｋ’と表せる」かどうかはわかりません。少なくとも自明なことではないように思われます。
でも答えもわかんない^^;これはNo.7さんの言うような方法で解くのが一番かと…

回答No.8

koko_u

さて、混沌としてまいりましたが

>「素因数」とは素数の因数のことです。
>＃全ての（１以外の）自然数は素因数を持ちます。…自明でしょう
勿論自明ではありません。
すべての自然数が「素」な数まで分解できることは整数環の特筆するべき特徴のひとつです。

>＃質問欄にあるmは、別に素数である必要はありません。
p^3 が「因数」m を持つからと言って、p も m を因数として持つとは限らないので論理が破綻してることに気付いて欲しい。

回答No.7

y_akkie

q^3=p^2(3q-p)を
q^3 = 3(p^2)q-p^3として、
両辺をqで割って、

q^2 = 3(p^2)q-(p/q)p^2
とおくと、分かりやすいかもしれません。
つまり、左辺は整数なので、右辺も整数
になるためには、(p/q)の部分が整数にならなければ
なりません。すなわち、q=1である必要があります。

次にq=1をq^3=p^2(3q-p)の式に代入すると、
1 = p^2(3-p)
p^2 = 3-p = 1になるようなpの値が存在しないので
よって、既約分数の形式で表される有理数の解が存在
しない事が証明されました。
次にx^3-3x+1=0が整数解が存在しない事を証明すると、
x(3-x^2)=1なので、x=3-x^2=1または、x=3-x^2=-1に
ならなければならず、これらの解を満たすxが存在しない
事が分かります。

以上の事から、題意が証明されました。

ちなみにp,qが互いに素というのは、共通する約数を持たないという
意味です。ですので素因数である必要はないと思われます。
互いに素ではないp,qは一般的に、p=Gp',q=Gq'（Gは最大公約数）
の形式で表す事ができるので、証明過程の中に因数という表現で
あっても何ら差し支えはありません。要はp,qが互いに素であると
いう仮定に反しているという意味では、素因数、因数のどちらでも
同じ事になります。