正四面体と球に関する問題

質問

「正四面体Tと半径１の球面Sとがあって、Tの６つの辺がすべてSに接しているという。Tの一辺の長さを求めよ。」という問題です。

ベクトルを使えばいいような気がするのですが、全然わかりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

Mell-Lily · ベストアンサー

正四面体と言っても、この問題の場合は、面を取り去った骨組み（辺）だけの正四面体を考えた方が、分かり易いと思います。骨組み（辺）だけの正三角形の上に、半径がこの正三角形の内接円の半径より大きい球を置きます。球は、正三角形の下に少しはみ出しますが、正三角形の三辺に接しています。球の半径を上手く調節して、同じ正三角形をあと三つ追加し、球が六つの辺に接する正四面体を作ることは可能だと思います。
正四面体は、その面である三つの正三角形が、どれも等しい立場にある対象な図形です。また、球は、勿論、対象な図形です。すると、球の中心は、正四面体の中心と一致している筈です。

お礼

＞正四面体と言っても、この問題の場合は、面を取り去った骨組み（辺）だけの正四面体を考えた方が、分かり易いと思います。骨組み（辺）だけの正三角形の上に、半径がこの正三角形の内接円の半径より大きい球を置きます。球は、正三角形の下に少しはみ出しますが、正三角形の三辺に接しています。球の半径を上手く調節して、同じ正三角形をあと三つ追加し、球が六つの辺に接する正四面体を作ることは可能だと思います。

おお！！スゴクわかりやすいです。確かに骨組みだと考えやすい！！図が完全にイメージできました！

＞球の中心は、正四面体の中心と一致している筈です。

とすると正四面体の中心を求めればよいのですね。「正四面体の中心」という言葉は初めて聞いたのですが、NO,4の点F,Gがそれぞれ△BCD,△ABCの重心であることを考えると、３頂点から対面の重心へ引いた線分の交点が求める正四面体の中心ということになるのでしょうか？

回答No.8

kony0

No.1のお礼を見て、どうも図的イメージができてなさそうに感じられましたので、アドバイスを。

正四面体を「板」で作るのではなくて、「竹ひご」で作ってみてください。そうすると、風船が竹ひごでできた三角形から飛び出して、竹ひごにぶつかりますよね？そんな図形です。

正多面体の双対性はいろいろありまして、他にも一例を出しますと、
・正四面体の各辺の中点を結ぶと、正八面体ができます。
これを使うと、正八面体の向かい合う面の間の距離が、正四面体の高さを利用して求められます。

群論とかにもつながるらしい「双対性」ですが、私にはわかりません。あくまで中学生的図形思考のみで勝負。（笑）

お礼

＞正四面体を「板」で作るのではなくて、「竹ひご」で作ってみてください。そうすると、風船が竹ひごでできた三角形から飛び出して、竹ひごにぶつかりますよね？そんな図形です。

おお！これまたわかりやすいです！風船が今ぶつかってます！あぁ確かに６つの辺に接していますね。

＞・正四面体の各辺の中点を結ぶと、正八面体ができます。
これを使うと、正八面体の向かい合う面の間の距離が、正四面体の高さを利用して求められます。

おお！何度か試行錯誤した結果、正四面体の各辺の中点を結ぶと、正八面体ができるということを確認できました。「正八面体の向かい合う面の間の距離」ってどのことでしょうか。真ん中の仕切り板の役割をしている正方形の長さのことでしょうか。

回答No.7

good777

【問題】
正四面体Tと半径１の球面Sとがあって、Tの６つの辺がすべてSに接してい
るという。Tの一辺の長さを求めよ。

【解】
正四面体Tの4つの頂点をそれぞれＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄと呼び、
辺ＡＢ、辺ＣＤにともに平行な面で、この正四面体と球面をそれぞれ2等分する。

このとき、正四面体の切り口は四角形(一般には長方形。実は正方形)になり、
球面の切り口は、四角形の外接円になる。

切り口の四角形の4辺のうち、ある２辺は、ＡＢに平行で、長さはＡＢの1/2
他の２辺はＣＤにＣＤに平行で、長さはＣＤの1/2
(中点連結の定理)
ＡＢ＝ＣＤゆえに、切り口四角形は正方形である。

円の直径2は切り口である正方形の対角線であるから、
正方形の1辺は√2である。

よって、Ｔの1辺は2√2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答え】2√2

お礼

お返事ありがとうございます。いろいろな解法があるんですね。御説明を聞いてわかったのですが、正四面体と球の接点って全部辺の中点だったんですね。つくづく綺麗な図形だと思いました。対称性の連続ですね。図形をいじくってみていろいろ発見するのは楽しいことだと感じました。どうもありがとうございました。

回答No.5

kony0

立方体の中に球が内接している図を書き、
立方体の各面の対角線をなぞると正四面体ができ（立方体と正四面体の双対性）
この球と正四面体は、題意の位置にあります。
球の半径が１なら、この立方体の１辺は２で、対角線はその（√２）倍。

お礼

お返事ありがとうございます！！おおっわかりました！立方体を補ってみると視界がパッと開けて問題の難易度がダダッと下がりますね！ありがとうございました。

回答No.4

Mell-Lily

正四面体Tの頂点をA、B、C、Dとし、辺BCの中点をEとします。三角形ADEにおいて、Aから辺DEに、Dから辺AEに下した垂線の足を、それぞれ、F、Gとします。対称性を考えれば、AFとDGの交点が球の中心Oとなります。よって、EOとADの交点をHとすれば、OHが球の半径であり、すなわち、OH=1です。このことから、Tの一辺をlとおいて関係式を導けば、l=2√2となります。

お礼

＞対称性を考えれば、AFとDGの交点が球の中心Oとなります。

すいません。ここがわかりません。OGとOFってそれぞれ面ABCと面DBCに垂直ということではないのでしょうか。そうすると面に接するような気がするのですが。すいません、どこで思い違いをしているのか教えてください。

回答No.3

jppy

＃２です・・・・

自信まんまんで間違えましたごめんなさい

お礼

いえいえお気持ちだけでもうれしいです。ありがとうございました。そういう私も図形を取り間違えてしましたし。

回答No.2

jppy

絵がかけないので上手く説明できませんが・・・

正四面体の底面、上面が半分(真中でね)になるように
（カステラを切るように）
切ってみて下さい

切り口には
球面の切り口（円ですね）と
正四面体の切り口(正方形)が出るはず
で、その正方形は円に内接してるはず

ま、ここまでいえば解けるっしょ
課題っぽいのでこれから先は頑張ってね

回答No.1

acacia7

正四面体Ｔと球面Ｓとの接点は、それぞれＴの辺の中点。
６個の点が構成するのは正四面体の半分の辺の長さをもつ正八面体。
正八面体の対角の長さは・・球面の直径にあたるので、２。
対角の長さが２の正八面体の各辺の長さは√2
　対角が２の正方形の辺の長さから。
で、正四面体Ｔの辺の長さは正八面体の辺の長さの倍なので2√2//

お礼

お返事どうもありがとうございます！私は正四面体Ｔの４頂点が球面Ｓ上にあって正四面体が球にすっぽり包まれている図形だと思ったのですがどうやら違うみたいですね。そこでまた新しい目で問題文を見つめてみたのですが、問題文が言っていいる図形がわからなくなってきました。
「正四面体Tの６つの辺がすべてSに接している」という状態って存在するのですか？正四面体のなかで風船をふくらましていっても３つの面と接するのはわかるのですがその風船をもっとふくらましていくと６つの辺と風船が接するようになるんですかね。