トポロジー、この形は何と同相？

質問

図がかけないので、以下のURLの右の写真をみていただけないでしょうか？

http://pds.exblog.jp/pds/1/200510/21/06/b0035506_192707.jpg

立方体の固まりから、各面において穴を掘ったような型です。
または、分厚い辺だけからなる立方体ともいえます。
この表面だけを考えたとき、何人乗りの浮き輪の表面と同相なのでしょうか？

また、

http://mud.mm-a2.yimg.com/image/508729162

ではどうなるのでしょうか？

さらに、

http://mud.mm-a2.yimg.com/image/508815359

ではどうなるのでしょうか？

回答No.3

totoro7683 · ベストアンサー

最初の例はg=5ではないでしょうか。
まず穴が一つだけのときは球面と同相です。
あとはハンドルを５つ取り付けたものと同相なので
ｇ＝５でしょう。

お礼

ありがとうございます。画像を少し大きなものに変更しました。
一つ目のhttp://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/cut/Image4.gif
は５箇所の「穴」につめものをすれば、凹んだ立方体になり、それは球面と同相になります。
つまり、穴が５つのトーラスと同相ですね。

次に、２個目の
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/cut/Image11.gif
ですが、「穴」につめものをして、１個目の形にすることを考えます。
大きな立方体(9*9*9)の頂点に有る小キューブ(3*3*3)を考えます。
それと隣り合う小キューブ(3*3*3)との連結部分につめものをしてみます。それは３個必要です。すると、元の小キューブ(3*3*3)には３個の穴がありますが、２箇所につめものをすればいいことがわかります。
頂点に有る小キューブ(3*3*3)は８個あるので、合計（３＋２）*８＝４０個。

つぎに、大きな立方体(9*9*9)の辺に有る小キューブ(3*3*3)を考えます。さきほど、隣接部分につめものをしたので、残り４箇所の穴がありますが、３箇所につめものをすればいいことがわかります。
辺に有る小キューブ(3*3*3)は１２個あるので、合計３*１２＝３６個。

これで、一つ目で考えた形になりました。その穴は５つでした。

よって、穴は合計４０＋３６＋５＝８１個。
これであっていますでしょうか？

回答No.5

totoro7683

NO2です。
なるほど大変巧妙な考えです。
おそらく正しいと思います。
穴を全部ふさぐと中に空間が出来てしまうので
中の空間と外をつなげるのに埋める穴を１つ引いたのですね。
このようにして出来た立体はｇ＝５のトーラスの表面をうがった
だけですから同相ですね。

回答No.4

Quattro99

#2です。
> 一つの穴を思いっきり広げて、全体を平たくしたような状態を考えてみてください。
と書いておきながら、間違えてました。そういうふうにすると5人乗りの浮き輪と同じですね。
すみませんでした。

回答No.2

Quattro99

穴の数と同じだけの人数分の浮き輪（最初の例なら6人乗り）と同じなのではないでしょうか？
一つの穴を思いっきり広げて、全体を平たくしたような状態を考えてみてください。

回答No.1

N64

穴の数が数えられるなら、ご推測のとおり、何人乗りの浮き輪の表面と同相ではないかと思います。記憶があいまいですが、位相幾何で習った分類では、それ以外には考えられないのではないかと思います。

参考URL：

http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/kenkyu.html