浮力について教えてください

質問

辺の長さが「a」の立方体が水中にあり、水面から立方体上面までの距離が「h」、水の密度「ρ」とすれば、

立方体の上面にかかる力は
ρgha^2 ---(1)
※gは重力加速度
これはイメージもできますし、直感的にも理解できます。

でも立方体の下面にかかる力は
ρg(h+a)a^2 ---(2)
となることは知ってますがなぜこうなるのか
理解できません。
上記の式は高さh+a、a^2の面積の水の柱が、下に
かける力と等しいと思います。

なぜ(2)が上にかかる力になるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

圧力の定義や性質をよく思い出してください。水中のある点の圧力は、どちらの方向にも同じ大きさで働いているということです。下向きだけに働いているわけではありません。

圧力は単位面積に直角方向加わる力です。パスカルの原理で、ある点における圧力はどの方向についてもその方向に直角な面に対して等しく同じ大きさ（絶対値）であるという圧力の定義を思い出してください。同じ深さの点における圧力は等しくなります。

その圧力の大きさは、水面に平行な単位面積の上に乗っている水（水柱）に働く重力になります。つまり密度ρ（単位立方体＝単位面積×単位長）に深さhをかけたものが質量=ρhで、それに重力加速度gをかけたρhgが、深さhの点での圧力で、これはどちらの方向にも等しく働いています。
たまたま深さhのところに水面と平行な面積a^2の面があれば、その面の上からも、下からも同じ大きさの力ρhga^2が逆方向に働きます。
深さが(h+a)の面積a^2の面であっても同様で、上下から逆方向に同じ大きさの力ρg(h+a)a^2が働きます。
質問の立方体の2つの面が水面に平行に沈められている場合、立方体の上面にかかる圧力は、深さhのところの圧力で、その同じ大きさの圧力が上面にかかります（向きは下向き）。一方、立方体の下面にかかる圧力は、深さ(h+a)のところの圧力が立方体の下面にかかります（向きは上向き）。立方体の上面にかかる力や下面にかかる力は、そてぞれの圧力に上面や下面の面積をかけたものになります。

少し、くどく説明しすぎたかもしれませんね。圧力とはどんな物かということを理解していただくために少しくどすぎるくらいに説明しました。

お礼

大変お詳しいお答えどうもありがとうございます。
パスカルの原理がより根本的な原理だったわけですね。
よくわかりました。

回答No.4

physicist_naka

No.1のものです。
立方体が水で出来ているとしましょう。こう考えても力の大きさは変わりませんね。このとき、立方体の下面が「下に」押す力は、
ρg(h+a)a^2 ---(2)
となることは理解できるでしょう。これは「立方体の下面の上の水柱」が下に押す力になっています。この原因は「立方体の下面の上の水柱」にかかる重力による力ですね。ところが「立方体の下面の上の水柱」が静止しているということは、重力による力を打ち消す抗力が下からかかっているからに他なりません。まさにこの力が立方体の下面にかかる「上向きの」力となります。

お礼

2回もお答えいただきどうもありがとうございます。
勉強になりました。

回答No.3

mech32

静止流体中のある点における圧力は、どの方向にも同じ大きさで働きます。図を描いて話をすれば証明は簡単なんですが、言葉だけで説明するのはちょっと大変です。試しに、水中に直角三角形を描いて、その各辺に働く力および、三角形に働く重力とのつりあいを求めてみて下さい。そして、その三角形の大きさを無限に小さくした極限を求めると、どの方向に働く圧力の大きさも同じであることが示されます。三角形の辺に働く圧力というのは変ですが、奥行きを単位長さと考えておけば、面に働く圧力ということになるので問題ありません。

お礼

どうもありがとうございました。
自分で証明してみたいと思います。

回答No.1

physicist_naka

仮に立方体の密度が小さいとします。このとき、立方体の下面にかかる力は、
ρg(h+a)a^2 ---(2)
よりも小さいはずだというのが疑問ですね。ところが、立方体を水中に沈めておくためには、上から立方体を押し付けてやらなければなりません。結果は(2)式で正しいはずです。

お礼

ありがとうございます。
せっかくお答えいただいたのですが、実はまだよくわかっていません。

私の疑問は立方体の下面に上方向へかかる力がなぜ
ρg(h+a)a^2
となるかです。
(2)式はどのようにして導かれるのでしょうか？
くどいようで恐縮ですがお暇でしたらお願いします。