コインで支払い （場合の数）

質問

次の場合、硬貨の一部、または全部でちょうど支払える金額は何通りあるか。
(1)10円玉4枚、50円玉1枚、100円玉3枚
(2)10円玉2枚、50円玉3枚、100円玉3枚
(3)10円玉7枚、50円玉1枚、100円玉3枚

(1)のみ解答「5×2×4-1=39通り」です。(2)や(3)も同様の方法で解くことはできるのでしょうか？不可能なのでしょうか？

回答No.3

puni2 · ベストアンサー

全く同じ方法だと誤りになります。なぜなら，(2)では50円玉が3枚，(3)では10円玉が7枚あるからです。
どういうことかというと，たとえば(2)で100円払うのに，「50円玉2枚」と「100円玉1枚」の2通りができるからです。
(3)でも，「10円玉5枚」と「50円玉1枚」が同じ額になりますね。
(1)ではこういったケースは発生しないので，単純に「枚数＋1」をかけあわせて，1通り（0円のケース）を引けば答えが求まりました。

最後の答えまで書くのはよくないと思いますので，ここから先はちょっと自力で考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。
ダブってしまう方法が何通りかあるのでそれを全体から引けばいいのですよね。

でもダブりが何通りあるのかを数えるのが大変ですね。。。

回答No.7

noname#48504

0 円の場合は「支払う」として考えて良いのでしょうか？（ここでは、「支払う」と考える）

直観的なことを言えば、先ず払える最高金額を考えてみると良いです。あと、50 × l + 100 × m (l, m は整数) は 50 の倍数ですから、それを手掛かりに考えてみると良いでしょう。

(3) の場合だと、支払える最高金額は 420 円。50 円玉と 100 円玉のみ使えば支払える最高金額は 350 円。350, 360, 370, ... , 420 円の各金額が与条件で支払えることは明らか。次に 50 円玉と 100 円玉のみ使って支払える金額は 0 , 50 , 100, ... , 350 円。10 円玉は 4 枚以上あるから、各 n(= 0, 1, ..., 6) に対し、50n , 50n + 10 , ... , 50n + 40 円の各金額は与条件で支払うことができる。よって求める場合は、43 通り。

(2) の場合だと、支払える最高金額は 470 円。50 円玉と 100 円玉のみ使えば支払える最高金額は 450 円。10 円玉が 1 枚あるから460 円も支払い可能。しかし 10 円玉は 2 枚までしかないから、各 n(= 0, 1, ..., 9) に対し、50n , 50n + 10 , 50n + 20 円の各金額だけ与条件で支払うことができる。よって求める場合は、3 × 10 = 30 通り。

蛇足ですが、今度は (1)(2)(3) の方法で、200 円を支払う方法は何通りあるかを考えてみるのも良いかもしれないです。

回答No.6

age_momo

2番こそこの方法で解く問題のように思います。
ただし、50円玉2枚は100円玉1枚と考えて

3×2×5-1=29通り

(1)(3)はそれぞれ金額合計390円と420円でもれなく
払うことができるので39通りと42通りと思いますが。。。

回答No.5

gate1972

no1です。

早とちりしました。皆様のご指摘どおりです。
混乱させてしまい申し訳ありませんでした

お礼

いえいえ　早々に回答いただきありがとうございます。

回答No.4

silverbear

２と３は引っ掛けが有りそうです。

２は直感で難しそうだったので３ですが、合計４２０円です。
あなたの方法では8*2*4-1＝６３通りとなりますが、実際は４２０円しかないのですから４２通りしかありません。
つまり、
１０円×５枚＋５０円×１枚＋１００円×２枚
１００円×３枚
は同じ金額と言う事です。

回答No.2

noname#22058

(2)の場合、50円玉2枚と100円玉1枚が等価、
(3)の場合、10円玉5枚と50円玉1枚が等価、
であるため、そういうケースがない(1)とは異なります。
まずは、手で数え上げてみる、という大原則に立ち返ってはいかがでしょう。

お礼

やはり数えていくしかないのですかね。。

なんかSmartに解けないかなと…

回答No.1

gate1972

同じ方法で解けると思います。

まず（１）はどうやって導いた式かわかりますか？

１:１０円玉は０～４枚使うことができる（５通り）
２:同様に５０円玉は　０～２枚使うことができる（２通り）
３:１００円玉は０～３枚使うことができる（４通り）

ここまで良いですか？

なので１,２,３を用いた全ての可能性は

５x２x４=４０（通り）

ですが、”支払った額”なので全て０枚の分”１”を引き

３９通り

となります。

（２）、（３）もとくに引っ掛けではなさそうなので同様で解ける
はずです。