確率の期待値について

質問

独立でない確率変数X,Yに対して一般に
E(min(X,Y)<min(E(X),E(Y))という不等式が成り立つのでしょうか？
わかる方がいらっしゃるなら、教えていただけないでしょうか？

回答No.1

adinat

成り立ちません。X=Yとすれば、左辺も右辺もE(X)です。真ん中の＜を≦に変えれば正しいです。どうやって証明するかというと、
min(X,Y)≦X
なので、両辺の期待値を取って、
E(min(X,Y))≦E(X)
同様に
E(min(X,Y))≦E(Y)
したがって
E(min(X,Y))≦min(E(X),E(Y))
です。

お礼

教えていただいてありがとうございます。確かに、考えてみると成り立ちそうですね。