数学１A 場合の数

質問

150！の末尾に付属する0の個数をもとめよ。
この問題が例題なしにいきなりでてきたのですが答えが３７としか書いてなくてなぜそうなるのかわからずに困っています
どなたかこの問題を解説していただけませんでしょうか？
よろしくおねがいいたします

回答No.3

Musicful-hearts · ベストアンサー

150!の中に因数"10"がいくつ存在するかを考えればいいです。

例を出して考えて見ましょう。

10!の末尾の０の個数は？
10!=10・9・8・7・6・5・4・3・2・1
=9・8・7・6・4・3・1×(10・5・2)
=9・8・7・6・4・3・2×(10・10)
なので、末尾には0が２つ付く。

では因数10の数を数えるにはどうすればいいでしょう。
10=2・5なので(因数2と因数5)のセットの数を数えればいいことになります。
ここで因数2と因数5で、因数5の方が少ないことは明らかなので因数5について考えます。

因数5を数える方法、集合は既習ですよね？
5^3で割り切れる数の集合をA、5^2で割り切れる数の集合をB、5^1で割り切れる数の集合をCとする。
n(A)=150÷5^3=1あまり25
n(B)=150÷5^2=6
n(C)=150÷5^1=30
よって5の因数の個数は1+6+30=37である。

なんかわかりづらいですね(汗

26を例にして説明してみましょう。
1～26のなかで25で割り切れる数の集合をA、5で割り切れる数の集合をBとする。
n(A)=26÷25=1あまり１(←5の因数を2つ含む数、25のみ)
n(B)=26÷5=5あまり１(←5の因数を1つ含む数、5,10,15,20,25の５つ)
よって1～26で因数5の数は
1+5=6
よって26!の末尾には6つの０が並ぶ

わかっていただけると光栄。
#1と同じ考え方みたいですね。

回答No.2

大明神（@bathbadya）

150！＝1×2×3×…×148×149×150
それぞれの掛け算する数（1、2、3、…、148、149、150)をAｎとする。
計算結果の末尾が"0"になる場合を考えると、
1.Aｎの下１桁目が"0"の場合
　　10、20,30,…,150　15回
2.Aｎの下２桁目が"0"の場合
100　1回
3.Aｎの下１桁目が"5"の場合
5,15,25　…　145 15回
4.1の場合でさらに下２桁目が"5"の場合
50,150　…　2回
で37？にはならんなぁ

例えば　"75"　だと　"5×5×3"　なんでこれは"４"かけると０いっこ増える。25,（50）,75,（100）,125,（150）　　　3回（　）なかの数字はカウント済み

"125"　は　"5×5×5"　なんでこれも０いっこ増える。1回（２回分はカウント済み）

普通は５×２で０が増えるんで２の出てくる数も数えるんだけど明らかに２の数が出てくる回数が多いのでカウント省略。

でやっと37になりますね。

回答No.1

Prunella

おはようございます。

階乗の０の数を求めるには、下記の関係から計算します。
（１）５の倍数とその前に必ずある２の倍数で１０の倍数ができる
（２）２５の倍数とその前に必ずある４の倍数で１００の倍数ができる
（３）１２５の倍数とその前に必ずある８の倍数で１０００の倍数ができる
以下、ずっと続く

１５０の階乗の場合には、
（１）１５０÷５＝３０
（２）１５０÷２５＝６
（３）１５０÷１２５＝１・・・余りが２５
従って、０の数は

３０＋６＋１＝３７

となります。