せん断ひずみ γ=2ε の証明

質問

ひずみゲージを使ったねじり試験において、
実験で得られたひずみの値を補正する場合以下の式に代入する

ε［1］＝(２／Ｋ)ε［2］　　(１)

ただし、ε［1］＝真のひずみ　ε［2］＝測定したひずみ　Ｋ＝ゲージ率
　また、せん断ひずみγは、ねじり試験によって得られたひずみを(１)式で補正し、(２)式に代入して計算する。

γ＝２ε　　　　　　　(２)

質問!!!
　この場合の(２)式の証明をしたいんですけれど、どなたか教えていただけませんか???お願いします。

回答No.1

noocyte · ベストアンサー

正方形が剪断変形すると菱形になる．このとき一方の対角線は伸び，
他方は縮むが，前者を一辺とする直角二等辺三角形を考える．
(↓のページの図を参照．)
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/zairiki.d/Syllubus/node7.html

この直角二等辺三角形の斜辺は伸び，
２つの45°の角は，それぞれθ1，θ2だけ小さくなる．
(剪断歪の定義：γ＝θ1＋θ2 (ラジアン))

したがって直角だった角は 90°＋γ に広がる．
一辺の長さをＬとすると，斜辺の長さは余弦定理により

√(L^2 ＋ L^2 － 2 * L^2 * cos(90°＋ γ))
＝ √((2 * L^2) * (1 － cos(90°＋ γ)))
＝ (√2) * L * √(1 ＋ sinγ)

もとの斜辺の長さは (√2) * L だったので，斜辺の垂直歪εは

ε ＝ (√2) * L * √(1 ＋ sinγ) / ((√2) * L) - 1
＝ √(1 ＋ sinγ) － 1．

ｘが十分小さければ sin x ≒ x，√(1 ＋ x) ≒ 1 ＋ x/2 なので，
γが十分小さければ
ε ≒ √(1 ＋ γ) － 1
≒ γ/2．

お礼

丁寧にありがとうございます。ホント助かりました。