ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群⇔kがLCM(m,n)の約数

質問

こんにちは。

ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群
⇔
kがLCM(m,n)の約数

で正しいでしょうか?

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

言おうとしていることは分かりますが、ちょっと表現がおかしいですね。
m,nを互いに素な自然数としたとき、
Zmn=Zm(〇+)Zn
の部分群の個数はmnの約数であり、それぞれの部分群の位数はmnの約数です。しかし、Zmnの部分群はZkでしょうか？もう一度、「有限生成アーベル群の基本定理」を復習してみるととをお薦めします。

直和であるためには、GCM(m,n)=1でなければなりません。たとえば、
Z3(〇+)Z16の要素を(x,y)と表したとき、要素(2,5)は、３で割れば２余り、１６で割れば５余る整数の代表元です。従って、中国剰余定理より、LCM(3,16)=48を法とする解が求まることになります。GCM(m,n)≠1ならば、解の一意性が保証されませんので、直和にはなりません。

お礼

どうも有り難うございました。
お陰様で勉強になりました。

回答No.1

rabbit_cat

ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群
っていう表現がよくわからないのですが．
普通に考えれば，k,m,nがそれぞれ異なるとき，ZkとZmとZnには共通の元は１つもないので，ZkがZmとZnの直和の部分群になることはありえないような．

お礼

有り難うございます。

> ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群
> っていう表現がよくわからないのですが．
群Z3(〇+)Z16は幾つの部分群を持っているか?(〇+は直和の記号と思われます)
という問題を見つけまして
その解答は
Z3(〇+)Z16はアーベル群でGDC(3,16)=1なので位数3×6=48を持つ。
従って、部分群の個数は48の正の約数の個数に等しい。
その約数は1,2,3,4,6,8,12,16,24,48なので
答え10個

となっています。
それで下記のような命題が成立つのかなと思い立ちました。

ZkはZmとZnの(1<m,n∈N)直和の部分群
⇔
kがLCM(m,n)の約数