平成13年慶應女子高校4の4について

質問

平成１3年慶應女子高校4の4の問題の解法を教えてください。

http://www.inter-edu.com/h_jyuken/data/test/keiou_g.html
高等学校2001年度　数学の問題（s01_keiojyosi_su.pdf）です。

回答No.13

bigman

ａ，ｂ，ｃがそれぞれ整数の場合はＮｏ．１２の回答でいいと思います。
多分それが出題者が期待している回答です。

「連続の公理」は「アルキメデスの原則」といった方がいいです。
アルキメデスの原則：
ε，Ｅをそれぞれ正の実数としたときεがいかに小さくてもＥがいかに大きくてもＥ＜ｎ・εを満たす自然数ｎが存在する。

ａ，ｂ，ｃがそれぞれ実数のときは中学生には難しいが理解は可能だと思います。
というのは「アルキメデスの原則」は自明のこととして受け入れられるからです。

Ｎｏ．３の
［従ってｎを自然数とすると
Ａを２・ｎ回実行した時ｓがｎ・Ｓ以上増加しているかｓが正になっている
ｎが限りなく増加するとｎ・Ｓは限りなく増加するのであるｎでｓは正になっている］
は
［従ってｎを自然数とすると
Ａを２・ｎ＋２または２・ｎ＋３回実行した時ｓがｎ・Ｓ以上増加しているかｓが正になっている
ｎが限りなく増加するとｎ・Ｓは限りなく増加するので適当なｎでｓは正になっている］
でいいのでは？

回答No.12

nubou

どうもすいません
ａ，ｂ，ｃが実数の時は中学の範囲を超えているので理解していただけなかったようです
ａ，ｂ，ｃが整数の時は非常に簡単なのですよ

ａ，ｂ，ｃが整数の時の回答：

４－３からａ，ｂ，ｃに負のものがあるときＡを実行するとａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は減少します
Ａを何度実行してもａ，ｂ，ｃに負のものがあるとａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は減少し続けますがａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は負にはなれないのでそのようなことはあり得ません
従ってＡを実行するうちにいつかａ，ｂ，ｃはすべて０以上にならなければならない
（ａ，ｂ，ｃが実数だとこの証明は不完全である）

問題の読み間違い失礼しました
それとｇｏｏの規則を知らなかったことをお詫びします

お礼

４－３から
「４－３から」と言う意味が分かりません。

ａ，ｂ，ｃに負のものがあるときＡを実行するとａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は減少します
OK

Ａを何度実行してもａ，ｂ，ｃに負のものがあるとａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は減少し続けますがａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２は負にはなれないのでそのようなことはあり得ません
OK

従ってＡを実行するうちにいつかａ，ｂ，ｃはすべて０以上にならなければならない
OK

（ａ，ｂ，ｃが実数だとこの証明は不完全である）
そうですね。

設問の流れから見てもこれでいいのでしょうね。うーむ。カンタンでしたね。
お騒がせを致しました。

補足

4-3からとは、「問題4の設問3」からと言う意味ですね。
了解。

私としてははじめから
「和一定」かつ「平方の和が単調減少」→「負の数の絶対値が単調減少」
とは分かったのですが、言い切っちゃっていいのかなあ。
もっとうまく説明できるのかなあと思っていました。
数字の選び方で収束の遅いのもありましたし、

と思い質問いたしました。

>ａ，ｂ，ｃが実数の時は中学の範囲を超えているので理解していただけなかったようです

ダレがですか。理解の主語を言ってください。

回答No.11

nubou

しょうもないことですけどもＡの定義を拡張していた方がいいですね
ａ，ｂ，ｃが全部０以上の実数のときＡを実行することは何もしないこととする

回答No.10

nubou

ｋｏｎｙさんへ
（ａ，ｂ，ｃ）＝（－７，＋６，＋６）のときＡを実行すると
（ａ，ｂ，ｃ）＝（＋７，－１，－１）になりませんか？

私の回答はａ，ｂ，ｃがそれぞれ実数としたものでした
中学生では難しいと思っていたのでおかしいなと思っていたのですが
問題を良く読まない悪い癖が出たようですね
しかし実数の公理が暗黙の了解で出てきますが実数でも成立しますね
表現の問題が残っていますがほぼ了解できるのではないですか
「
従ってｎを自然数とすると
Ａを２・ｎ回実行した時ｓがｎ・Ｓ以上増加しているかｓが正になっている
ｎが限りなく増加するとｎ・Ｓは限りなく増加するのであるｎでｓは正になっている
」
のところの改良が必要ですね
ほとんど表現論ですが

「
従ってＡを２回あるいは３回実施するとｓがＳ増加するかｓが０になる
そのような操作をｎ回実施するとｓがｎ・Ｓ増加するかｓが０になる
実数の公理からｎを限りなく大きくするとｎ・Ｓは限りなく大きくなるから
いずれｓは０になる
」
ちょっとおおざっぱですけれども実数の範囲に一般化されています

回答No.9

kony0

一応、自分なりに書いた答案を読んでみましたが、たぶん間違ってなさそうです。
で、補足。
4)より、２回の操作を行えば、負の数は真に大きくなる。ここで「整数」なので、１以上大きくなる。
これが大事で、ということは、「はじめの最小の数」の「絶対値」の２倍、すなわち2|a|回以内で事柄Bにたどりつくことがいえます。

これが整数でなかったら・・・無限回の世界にいっちゃいそうなんですが。

回答No.8

kony0

1)規則Aを１回行ったとき、負の数の個数は高々１個である
○初期設定で負の数が２つある場合・・・a<=b<0<cとしても一般性を失われない。
→aを作用させる場合、(a,b,c)→(-a,a+b,a+c)となり、-a>0, a+b<0, a+c>a+b+c>0なので、負の数は１つ
→bを作用させる場合、(a,b,c)→(a+b,-b,b+c)となり、a+b<0, -b>0, b+c>a+b+c>0なので、負の数は１つ
○初期設定で負の数が１つある場合・・・a<0<=b<=cとしても一般性を失われない。
(a,b,c)→(-a,a+b,a+c)となる。-a>0である。
ここで、a+c<0と仮定すると、a+b<=a+c<0より操作後の値は３つとも負になり、恒等式-a+(a+b)+(a+c)=a+b+cの左辺は負となるが、題意より右辺は正であり、矛盾

2)規則Aを１回以上行ったとき、負の数の個数は高々１個である
→1)を１回操作したあと、「初期設定で負の数が１つある場合」と同様に考えればOK。

3)規則Aを２回以上行った後も負の数が発生する場合、直近の操作前後で負の数が小さくなることはない
→２回以上行っているので、直近の操作前は「初期設定で負の数が１つある場合」を考えればよく、操作後の負の値はa+bとなるが、b>=0なので、a+b>=a

4)規則Aを２回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数は必ず大きくなる
○3)において、b>0の場合は、１回目の操作で負の数は真に大きくなり、２回目の操作では負の数は小さくならない。ということは、２回の操作では負の数は真に大きくなる。
○3)において、b=0の場合・・・(a,0,c)→(-a,a,a+c)→(0,-a,2a+c)となり、負の数があるならば、2a+cがそれに該当する。（-a>0だから）
ここで、(2a+c)-a=a+c=（操作前の3数の和）>0なので、2a+c>a

ここで書きながら考えたので、間違ってるかもしれないです。よって、自信なしで。(^^;)

補足

1)規則Aを１回行ったとき、負の数の個数は高々１個である

1行目から間違い

回答No.7

nubou

いやー困った困った
中学生の問題なのに事はそう簡単ではないぞ

Ａを実行する度の負数の個数の推移パターンを図示すると以下のいずれかである
（ａ）
１－２－１－２－１－２－１－・・・－１－２－１－１－１－・・・－１－０
（ｂ）
２－１－２－１－２－１－２－・・・－１－２－１－１－１－・・・－１－０
（ｃ）
１－１－１－１－１－１－１－・・・－１－１－１－１－１－・・・－１－０

１－２ではｓはＳ増加し２－１ではｓは変化しない
１－１－１ごとにｓがＳ増加する
とすべきですね

結論は明らかだけれども「２・ｎ」のところは
「２・（ｎ＋ｘ）＋３・（ｍ＋ｘ）」（ｘ＝０ｏｒ１）にしないといけないな
漠然とした表現ならできると思いますが

補足

内容ではなく表現法の問題です。

回答No.6

kony0

３つの「整数」の組だったら、以下のことがいえそうです。
1)規則Aを１回行ったとき、負の数の個数は高々１個である
2)規則Aを１回以上行ったとき、負の数の個数は高々１個である
3)規則Aを１回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数が小さくなることはない
4)規則Aを２回行った後も負の数が発生する場合、操作前後で負の数は必ず小さくなる
→これらがいえれば、やがて必ず３つとも０以上の数になることがいえます。

後ほど、証明の形で書きます。おもしろい問題だったので、まだ閉じないで！

回答No.5

nubou

Ａを実行する度の負数の個数の推移パターンを図示すると以下のいずれかである
（ａ）
１－２－１－２－１－２－１－・・・－１－２－１－１－１－・・・－１－０
（ｂ）
２－１－２－１－２－１－２－・・・－１－２－１－１－１－・・・－１－０
（ｃ）
１－１－１－１－１－１－１－・・・－１－１－１－１－１－・・・－１－０

１－２ではｓはＳ増加し２－１ではｓは変化しない
２－１－１－１でｓはＳ増加し以後１－１ごとにｓが０になるまでＳ増加する

従って
「Ａを２・ｎ回実行した時ｓがｎ・Ｓ以上増加」は
「Ａを２・（ｎ＋１）回実行した時ｓがｎ・Ｓ以上増加」とすべきだろう

回答No.4

nubou

「ｓが正になっている」（２カ所）は「ｓが０になっている」でした